2020　東京理科大学　理学部数学科2月8日実施MathJax

【１】　次の$\text{ア}$から$\text{セ}$において，$$内のカタカナにあてはまる$0$から$9$までの数字を求め，その数字を解答用マークシートにマークせよ．ただし，分数は既約分数（それ以上約分できない分数）の形で表し，根号を含む値は根号の中の自然数が最小になる形で表すこと．

(1)　実数$a$は$0<a<1$を満たすとする．座標平面の$4$つの点$\mathrm{O}$$(0,0)\text{，}$$\mathrm{A}$$(1,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(a+1,\sqrt{1-a^2})\text{，}$$\mathrm{C}$$(a,\sqrt{1-a^2})$を頂点とし，各辺の長さが$1$であるような平行四辺形$\mathrm{OABC}$がある．点$\mathrm{D}$$({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}},{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}})$に対し，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OD}}\geqq {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$を満たすように実数$a$が動くとする．

　線分$\mathrm{BC}$のうち$x$座標が$1$以下である部分の長さが最小になるのは，

$a={\displaystyle \frac{\sqrt{\text{ア}}}{\text{イ}}}(\sqrt{\text{ウ}}+1)$

のときである．このとき，平行四辺形$\mathrm{OABC}$のうち$x$座標が$1$以下である部分の面積は，

${\displaystyle \frac{\sqrt{\text{エ}}}{\text{オ}}}(\sqrt{\text{カ}}-1)-{\displaystyle \frac{1}{\text{キ}}}$

となる．

(2)　座標空間において，原点$\mathrm{O}$を中心とした半径$3$の球面上に，$x$座標，$y$座標，$z$座標がすべて正であるような点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$がある．点$\mathrm{G}$$({\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{4}},{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{4}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}})$に対し，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OG}}\geqq 3\cos {\displaystyle \frac{\pi }{12}}$を満たすように点$\mathrm{P}$が動くとする．このとき，点$\mathrm{P}$の$z$座標の最小値は，

$u={\displaystyle \frac{\text{ク}}{\text{ケ}}}\sqrt{\text{コ}}$

である．点$\mathrm{Q}$の$座$標がここで求めた$u$であるとし，$\mathrm{Q}$$(s,t,u)$とおく．座標空間の$8$つの点$\mathrm{O}$$(0,0,0)\text{，}$$\mathrm{A}$$(3,0,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(3,3,0)\text{，}$$\mathrm{C}$$(0,3,0)$および$\mathrm{Q}$$(s.t,u)\text{，}$$\mathrm{D}$$(s+3,t,u)\text{，}$$\mathrm{E}$$(s+3,t+3,u)\text{，}$$\mathrm{F}$$(s,t+3,u)$を頂点とし，各辺の長さが$3$であるような平行六面体$\mathrm{OABC‐QDEF}$を考える．点$\mathrm{Q}$が動くとき，平行六面体$\mathrm{OABC‐QDEF}$の面$\mathrm{QDEF}$のうち，$x$座標と$y$座標がともに$3$以下である部分の面積が最小になるのは，

$s+t=\text{サ}$

のときである．このとき，平行六面体$\mathrm{OABC‐QDEF}$のうち$x$座標と$y$座標がともに$3$以上である部分の体積は，

${\displaystyle \frac{\text{シ}}{\text{ス}}}\sqrt{\text{セ}}$

である．

【２】　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$は，

$a={\displaystyle {\int }_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{3\pi }{4}}}{e}^{-x}\mathit{dx}\text{，}$$b={\displaystyle {\int }_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{3\pi }{4}}}{e}^{-x}\cos x\mathit{dx}\text{，}$$c={\displaystyle {\int }_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{3\pi }{4}}}{e}^{-x}\sin x\mathrm{dx}$

により定まる実数であり，$f(t)\text{，}$$g(t)$は，

$f(t)=e^{2t}+e^{-2t}\text{，}$$g(t)=e^{2t}-e^{-2t}$

により定まる関数である．ただし，$e$は自然対数の底である．以下の問いに答えよ．

(1)　$b+c$を部分積分法により求めよ．

(2)　$b-c$を部分積分法により求めよ．

(3)　$a\text{，}$$b$および$c$を求めよ．

(4)　座標平面において，実数$t$により定まる曲線$y=e^{-x}(e^t\sin x+e^{-t}\cos x)\text{，}$$x$軸および，$2$直線$x={\displaystyle \frac{\pi }{8}}\text{，}$$x={\displaystyle \frac{3\pi }{8}}$によって囲まれる図形を$x$軸の周りに$1$回転してできる立体の体積を$V(t)$とおくとき，すべての実数$t$について，

$V(t)=Af(t)+Bg(t)+C$

が成立するように，実数$A\text{，}$$B\text{，}$$C$を定めよ．

(5)　(4)で定めた$V(t)$を実数$t$を変数とする関数として考える．このとき，$V(t)$の導関数$V^{\prime }(t)$を$f(t)\text{，}$$g(t)$を用いて表せ．また，$V(t)$は極値を一つだけとり，その極値が関数$V(t)$の最小値であることを示せ．