2020　東京理科大学　工学部B方式2月9日実施MathJax

【１】　次の(1)，(2)，(3)においては，$$内の$1$つのカタカナに$0$から$9$までの数字が$1$つあてはまる．その数字を解答用マークシートにマークしなさい．与えられた枠数より少ない桁の数があてはまる場合は，上位の桁を$0$として，右に詰めた数値としなさい．分数は既約分数とし，値が整数の場合は分母を$1$としなさい．根号を含む形で解答する場合は，根号の中に現れる自然数が最小となる形で答えなさい．

(1)　以下の定積分の値を求めなさい．ただし，$\log x$は$x$の自然対数を表わす．

(a)　${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{4}}}{\displaystyle \frac{\sin x-\sqrt{2}\cos x}{\sqrt{2}\sin x+\cos x}}\mathit{dx}=\log (\text{ア}-\sqrt{\text{イ}})$

(b)　${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{4}}}{\displaystyle \frac{\sin x}{\sqrt{2}\sin x+\cos x}}\mathit{dx}={\displaystyle \frac{\sqrt{\text{ウ}}}{\text{エ}\text{オ}}}\pi +{\displaystyle \frac{\text{カ}}{\text{キ}}}\log (\text{ク}-\sqrt{\text{ケ}})$

(c)　${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{4}}}{\displaystyle \frac{\cos x}{\sqrt{2}\sin x+\cos x}}\mathit{dx}={\displaystyle \frac{\text{コ}}{\text{サ}\text{シ}}}\pi -{\displaystyle \frac{\sqrt{\text{ス}}}{\text{セ}}}\log (\text{ソ}-\sqrt{\text{タ}})$

【１】　次の(1)，(2)，(3)においては，$$内の$1$つのカタカナに$0$から$9$までの数字が$1$つあてはまる．その数字を解答用マークシートにマークしなさい．与えられた枠数より少ない桁の数があてはまる場合は，上位の桁を$0$として，右に詰めた数値としなさい．分数は既約分数とし，値が整数の場合は分母を$1$としなさい．根号を含む形で解答する場合は，根号の中に現れる自然数が最小となる形で答えなさい．

(2)　$1$から$6$の目が等しい確率で出るさいころを$n$回続けて投げる．これら$n$回の試行で出た目を値の小さいものから順に並べて，$X_1\text{，}$$X_2\text{，}$$\cdots \text{，}$$X_n$とする．例えば$n=4$のとき，出た目が$2\text{，}$$5\text{，}$$1\text{，}$$2$であった場合，$X_1=1\text{，}$$X_2=2\text{，}$$X_3=2\text{，}$$X_4=5$となる．このとき，以下の問いに答えなさい．

(a)　$n=4$のとき，$X_4$が$5$以上となる確率は${\displaystyle \frac{\text{ア}\text{イ}}{\text{ウ}\text{エ}}}$である．

(b)　$n=4$のとき，$X_3$が$5$以上となる確率は${\displaystyle \frac{\text{オ}\text{カ}}{\text{キ}\text{ク}}}$である．

　以降では，$2$以上の自然数$n$に対して，$n$回の試行で$X_2$が$2$以下となる確率を$P_n$と表す．

(c)　$P_n$が$0.3$以上となるような，最小の試行回数は$n=\text{ケ}$である．

(d)　$P_6={\displaystyle \frac{\text{コ}\text{サ}\text{シ}}{\text{ス}\text{セ}\text{ソ}}}$である．

【１】　次の(1)，(2)，(3)においては，$$内の$1$つのカタカナに$0$から$9$までの数字が$1$つあてはまる．その数字を解答用マークシートにマークしなさい．与えられた枠数より少ない桁の数があてはまる場合は，上位の桁を$0$として，右に詰めた数値としなさい．分数は既約分数とし，値が整数の場合は分母を$1$としなさい．根号を含む形で解答する場合は，根号の中に現れる自然数が最小となる形で答えなさい．

(3)　定数$\alpha \text{，}$$\beta \text{，}$$\gamma$に対して，数列$\{a_n\}$を以下の条件で定める．

$a_1=\alpha \text{，}$$a_{n+1}={\displaystyle \frac{a_n}{5}}+{\displaystyle \frac{\beta n+\gamma }{5^{n+2}}}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

(a)

$a_3={\displaystyle \frac{\alpha }{\text{ア}\text{イ}}}+{\displaystyle \frac{\text{ウ}\beta +\text{エ}\gamma }{\text{オ}\text{カ}\text{キ}}}$

であり，$n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots$に対して

$5^n{a}_n={\displaystyle \frac{\beta }{\text{ク}\text{ケ}}}{n}^2+{\displaystyle \frac{1}{\text{コ}}}(\gamma -{\displaystyle \frac{\beta }{\text{サ}}})n+\text{シ}\alpha -{\displaystyle \frac{\gamma }{\text{ス}}}$

が成り立つ．

(b)　$\beta \ne 0$かつ$\gamma =25\alpha$のときを考える．

$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{5}^k{a}_k$

とすると

$S_n={\displaystyle \frac{\beta n}{\text{セ}\text{ソ}}}(n+\text{タ})(n+\text{チ}\text{ツ}{\displaystyle \frac{\alpha }{\beta }}-\text{テ})$

であり，さらに$\beta =25\alpha$のときには

${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{S_k}}={\displaystyle \frac{\text{ト}}{\text{ナ}\text{ニ}}}\times {\displaystyle \frac{n(n+\text{ヌ})}{\alpha (n+\text{ネ})(n+\text{ノ})}}$

である．ただし，$\text{ネ}\leqq \text{ノ}$とする．

(c)　$\beta =0$のとき

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }}{a}_k={\displaystyle \frac{\text{ハ}}{\text{ヒ}}}\alpha +{\displaystyle \frac{\gamma }{\text{フ}\text{ヘ}}}$

である．ただし

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{n}{5^n}}=0$

を用いてよい．

【２】　以下の問いに答えなさい．ただし，空欄$\text{(あ)}\text{〜}$$\text{(け)}$については適切な数または式を解答用紙の所定の欄に記入しなさい．

　三角形$\mathrm{OAB}$において，辺$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{M}$とし，線分$\mathrm{BM}$上に点$\mathrm{P}$を$\mathrm{BP}:\mathrm{PM}=\lambda :1-\lambda$となるようにとる．ただし，$\lambda$は$0<\lambda <1$を満たす定数とする．さらに$2$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{P}$を通る直線と辺$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．また，以下では$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とする．

(1)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$をそれぞれ$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\lambda$を用いて表すと

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\text{(あ)}\overrightarrow{a}+\text{(い)}\overrightarrow{b}$

$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\text{(う)}\overrightarrow{a}+\text{(え)}\overrightarrow{b}$

である．また，内積$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}$を$\left|\overrightarrow{a}\right|\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|\text{，}$および$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$を用いて表すと

$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=\text{(お)}{\left|\overrightarrow{a}\right|}^2+\text{(か)}{\left|\overrightarrow{b}\right|}^2+\text{(き)}\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$

である．

(2)　さらに，次の条件が成り立つとする．

・$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=-1$

・$\mathrm{OQ}\perp \mathrm{AB}$

・$\mathrm{OQ}=1$

このとき$\left|\overrightarrow{a}\right|$と$\left|\overrightarrow{b}\right|$を$\lambda$を用いて表すと

$\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{\text{(く)}}\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|=\sqrt{\text{(け)}}$

である．なお，(く)と(け)を導く過程を所定の場所に書きなさい．

【３】　以下の問いに答えなさい．ただし，空欄$\text{(あ)}\text{〜}$$\text{(き)}$については適切な数または式を解答用紙の所定の欄に記入しなさい．

(1)　実数$x$の関数

$f(x)={\displaystyle \frac{3x+\sqrt{32-7x^2}}{4}}$

の定義域は$\text{(あ)}\leqq x\leqq \text{(い)}$である．また，$f(x)$は，$x=\text{(う)}$のとき$f(x)=0$となり，$x=\text{(え)}$のとき極大値$\text{(お)}$をとる．

【３】　以下の問いに答えなさい．ただし，空欄$\text{(あ)}\text{〜}$$\text{(き)}$については適切な数または式を解答用紙の所定の欄に記入しなさい．

(2)　座標平面上の曲線

$2x^2-3xy+2y^2=4$

について以下の問いに答えなさい．

(a)　曲線で囲まれた部分の面積は$\text{(か)}$である．

(b)　曲線で囲まれた部分を$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積は$\text{(き)}$である．なお，(き)を導く過程を所定の場所に書きなさい．