2020　東京理科大学　基礎工学部B方式2月4日実施MathJax

【１】　$2$次関数$f(x)$を

$f(x)={\displaystyle \frac{3}{2}}{x}^2-\mathrm{３}x-2$

と定める．$a\text{，}$$b$を実数として，$y=f(x)$のグラフを$x$軸方向に$a\text{，}$$y$軸方向に$b$だけ平行移動した放物線を$C$とする．$C$をグラフにもつ$2$次関数を$g(x)$とする．

(1)　$a=4\text{，}$$b=-2$のとき

$g(x)={\displaystyle \frac{\text{ア}}{\text{イ}}}{x}^2-\text{ウエ}x+\text{オカ}$

と書ける．

(2)　$2$次関数$g(x)$が$x=-4$で最小値$5$をとるとき

$a=-\text{キ}\text{，}$$b={\displaystyle \frac{\text{クケ}}{\text{コ}}}$

である．

(3)　$2$次方程式$g(x)=0$が重解$x=3$をもつとき

$a=\text{サ}\text{，}$$b={\displaystyle \frac{\text{シ}}{\text{ス}}}$

である．

(4)　$2$次方程式$g(x)=0$が異なる$2$つの実数解$\alpha \text{，}$$\beta$$\text{（}\alpha <\beta \text{）}$をもち，$\beta -\alpha =5$を満たすとき

$b=-{\displaystyle \frac{\text{セソ}}{\text{タ}}}$

である．

【２】　右の図の直方体$\mathrm{OADB‐CEGF}$において，$\mathrm{OA}=\sqrt{2}\text{，}$$\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=1$とする．さらに，辺$\mathrm{AE}$の中点を$\mathrm{M}$とする．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OG}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$の大きさは，それぞれ

$\left|\overrightarrow{\mathrm{OG}}\right|=\text{ア}\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{OM}}\right|={\displaystyle \frac{\text{イ}}{\text{ウ}}}$

であり，$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{OG}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OM}}$は

$\overrightarrow{\mathrm{OG}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OM}}={\displaystyle \frac{\text{エ}}{\text{オ}}}$

である．

(2)　三角形$\mathrm{OGM}$の面積は${\displaystyle \frac{\sqrt{\text{カキ}}}{\text{ク}}}$である．

(3)　$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{G}\text{，}$$\mathrm{M}$の定める平面を$\alpha$とし，点$\mathrm{C}$から平面$\alpha$に垂線$\mathrm{CH}$を下ろす．このとき

$\overrightarrow{\mathrm{OH}}={\displaystyle \frac{\text{ケ}}{\text{コサ}}}\overrightarrow{\mathrm{OG}}-{\displaystyle \frac{\text{シ}}{\text{スセ}}}\overrightarrow{\mathrm{OM}}$

である．

【３】(1)　定積分${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}\sin x\cos x\mathit{dx}$を計算すると

${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}\sin x\cos x\mathit{dx}={\displaystyle \frac{\text{ア}}{\text{イ}}}$

となる．

(2)　定積分${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}x\cos x\mathit{dx}$を計算すると

${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}x\cos x\mathit{dx}={\displaystyle \frac{\pi }{\text{ウエ}}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{\text{オ}}}{\text{カ}}}-\text{キ}$

となる．

(3)　関数$f(x)$が

$f(x)=3\sin x+x{\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}f(t)\cos t\mathit{dt}$

を満たすとする．このとき，$f(x)$は

$f(x)=\text{ク}\sin x+{\displaystyle \frac{\text{ケ}}{\text{コサ}-\text{シス}\sqrt{\text{セ}}-\text{ン}\pi }}x$

と書ける．

【４】　以下の設問に答えなさい．ただし，空欄(あ)〜(き)については，適切な数または式を解答用紙の所定の欄に記入しなさい．

　$k$を実数とし，複素数$\alpha$を$\alpha ={\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}i$と定める．ここで，$i$は虚数単位を表す．

(1)　${\alpha }^{-4}$を$u+vi$（$u\text{，}$$v$は実数）の形に表すと

$u=\text{(あ)}\text{，}$$v=\text{(い)}$

となる．

(2)　複素数平面上で，${\alpha }^{-4}$を表す点を$\mathrm{Q}\text{，}$$k$を表す点を$\mathrm{K}$とする．点$\mathrm{K}$を中心にして，点$\mathrm{Q}$を反時計回りに${\displaystyle \frac{2}{3}}\pi$だけ回転させた点を$\mathrm{P}(x+yi)$とする．実数$x\text{，}$$y$を$k$の式で表すと

$x=\text{(う)}\text{，}$$y=\text{(え)}$

となる．

(3)　$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{K}\text{，}$$\mathrm{P}$を(2)で定めた点とし，$k=3$のときを考える．複素数平面上の三角形$\mathrm{QKP}$の外接円を$C$とする．このとき，$C$の中心を$a+bi$（$a\text{，}$$b$は実数）の形に表すと

$a=\text{(お)}\text{，}$$b=\text{(か)}$

となり，$C$の半径を$r$とすると

$r=\text{(き)}$

となる．なお，(お)と(か)の値を導く過程を解答用紙の所定の欄に書きなさい．

【５】　以下の設問に答えなさい．ただし，空欄(あ)〜(か)については，適切な数または式を解答用紙の所定の欄に記入しなさい．

　$a$を実数，$p\text{，}$$q$を正の実数とし，関数$f(x)$を

$f(x)=|x-a||x-a-p||x-a-p-q|$

と定め，さらに，

$I={\displaystyle {\int }_a^{a+p+q}}f(x)\mathit{dx}$

と定める．

(1)　$x$が実数全体を動くとき，$f(x)$を極大にする$x$の個数は$\text{(あ)}$個であり，極小にする$x$の個数は$\text{(い)}$個である．

(2)　$p=q=1$のとき，

$I=\text{(う)}$

となる．

(3)　正の実数$p\text{，}$$q$が

${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}p\leqq q\leqq \sqrt{3}p\text{．}$$p^2+q^2=1$

を満たしながら動くとする．このとき，$t=pq$とおいて，$I$を$t$の式で表すと

$I={\displaystyle \frac{\text{(え)}}{12}}$

となり，$I$のとり得る値の範囲は

$\text{(お)}\leqq I\leqq \text{(か)}$

となる．なお，(お)と(か)の値を導く過程を解答用紙の所定の欄に書きなさい．