2020　東京理科大学　薬学部B方式2月7日実施MathJax

【１】(1)　$a_1=27\text{，}$$a_{n+1}=3\sqrt{a_n}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$を満たす数列$\{a_n\}$がある．

(a)　$a_3={\text{ア}}^{\frac{\text{イ}}{\text{ウ}}}\text{，}$$a_4={\text{ア}}^{\frac{\text{エ}\text{オ}}{\text{カ}}}$である．

(b)　$b_n={\log }_3{a}_n$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$とおくと，数列$\{b_n\}$の第$n$項は

$\text{キ}{\left({\displaystyle \frac{\text{ク}}{\text{ケ}}}\right)}^{n-1}+\text{コ}$

と表される．したがって，$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\text{サ}$である．

【１】(2)　$c_1={\displaystyle \frac{7}{18}}\text{，}$$c_{n+1}={\displaystyle \frac{8c_n}{4c_n+1}}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$を満たす数列$\{c_n\}$がある．

(a)　$c_3={\displaystyle \frac{\text{シ}\text{ス}\text{セ}}{\text{ソ}\text{タ}\text{チ}}}\text{，}$$c_4={\displaystyle \frac{\text{ツ}\text{テ}\text{ト}\text{ナ}}{\text{ニ}\text{ヌ}\text{ネ}\text{ノ}}}$である．

(b)　$d_n={\displaystyle \frac{1}{c_n}}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$とおくと，数列$\{d_n\}$の第$n$項は

$\text{ハ}{\left({\displaystyle \frac{\text{ヒ}}{\text{フ}}}\right)}^{n-1}+{\displaystyle \frac{\text{ヘ}}{\text{ホ}}}$

と表される．

【２】　$x$の整式$f(x)$が，$x$についての恒等式

$(x+{\displaystyle \frac{1}{2}})f^{″}(x)-(x+2)f^{\prime }(x)+4f(x)=48x-39$

を満たし，かつ$f(0)=0$であるという．ただし，$f^{\prime }(x)$と$f^{″}(x)$はそれぞれ$f(x)$の第$1$次導関数と第$2$次導関数を表す．また，文中の$\log$は自然対数を表す．

(1)　整式$f(x)$の次数は$\text{ア}$であり，$\text{ア}$次の項の係数は$\text{イ}$である．そして，

${\displaystyle {\int }_1^2}{\displaystyle \frac{x}{f(x)}}\mathit{dx}$$={\displaystyle \frac{1}{\text{ウ}\text{エ}}}(\text{オ}+\text{カ}\log 2-\text{キ}\log 3)$

である．

(2)　関数$f(x)$は，$x={\displaystyle \frac{\text{ク}}{\text{ケ}}}\sqrt{\text{コ}}$のとき，極大値$-{\displaystyle \frac{\text{サ}}{\text{シ}}}+\text{ス}\sqrt{\text{セ}}$をとり，$x=\text{ソ}\text{，}$$-{\displaystyle \frac{\text{タ}}{\text{チ}}}\sqrt{\text{ツ}}$のとき，極小値$\text{テ}\text{，}$$-{\displaystyle \frac{\text{ト}}{\text{ナ}}}-\text{ニ}\sqrt{\text{ヌ}}$をそれぞれとる．

(3)　曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた部分の面積は${\displaystyle \frac{\text{ネ}\text{ノ}\text{ハ}}{\text{ヒ}}}$である．

【３】　$n$を自然数とする．

(1)　$n=7$とする．このとき，${\displaystyle \sum _{k=0}^n}{}_{n}C_k=\text{ア}\text{イ}\text{ウ}\text{，}$${\displaystyle \sum _{k=0}^n}{(-1)}^k{}_{n}C_k=\text{エ}$である．また，${\displaystyle \sum _{k=0}^n}k{}_{n}C_k=\text{オ}\text{カ}\text{キ}\text{，}$${\displaystyle \sum _{k=0}^n}{k}^2{}_{n}C_k=\text{ク}\text{ケ}\text{コ}\text{サ}$であり，${\displaystyle \sum _{k=0}^n}\left({\displaystyle \frac{1}{k+1}}\right){}_{n}C_k={\displaystyle \frac{\text{シ}\text{ス}\text{セ}}{\text{ソ}}}$である．

　$A(n)={\displaystyle \sum _{k=0}^n}{({}_{n}C_k)}^2$とする．

(2)　$A(n)$と$A(n+1)$は関係式

$(n+\text{タ})A(n+1)=(\text{チ}n+\text{ツ})A(n)\text{，}$$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$

を満たし，$A(7)=\text{テ}\text{ト}\text{ナ}\text{ニ}$である．

(3)　すべての$n$に対して，

$b^{n-1}<A(n)<c^n$

が成り立つような自然数$b$と$c$うち，最大の$b$の値は$\text{ヌ}$であり，最小の$c$の値は$\text{ネ}$である．

【４】　関数$f(x)=\cos 2x-3\sqrt{3}\cos x+4$$\text{（}0\leqq x\leqq 2\pi \text{）}$を考える．

(1)　$f(x)\geqq 0$となるような$x$の範囲は，

${\displaystyle \frac{\text{ア}}{\text{イ}}}\pi \leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\text{ウ}\text{エ}}{\text{オ}}}\pi$

である．

(2)　曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた部分を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を$V$とすると，

$V=\text{カ}\text{キ}{\pi }^{\mathrm{２}}+{\displaystyle \frac{\text{ク}\text{ケ}\text{コ}}{\text{サ}}}\sqrt{\text{シ}}\pi$

である．

(3)　$n$を自然数とし，

$g_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}f({\displaystyle \frac{k}{12n}}\pi )$

とおく．$\sin ({\displaystyle \frac{1}{12}}\pi )={\displaystyle \frac{\text{ス}\sqrt{6}-\text{セ}\sqrt{2}}{4}}$であるから．

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{g_n}{n}}$$={\displaystyle \frac{\text{ソ}}{\pi }}(\text{タ}+\text{チ}\sqrt{\text{ツ}}-\text{テ}\sqrt{\text{ト}})+\text{ナ}$

となる．