2020　東京理科大学　理学部応用数学科2月5日実施MathJax

【１】　$$内のカタカナにあてはまる$0$から$9$までの数字を求め，その数字を解答用マークシートにマークせよ．ただし，分数は既約分数（それ以上約分できない分数）の形で表すこと．また，根号を含む値は，根号の中の自然数が最小になる形で表すこと．

　自然数$n$に対して，関数$f_n(x)\text{，}$$g_n(x)$を

$f_n(x)=2{\left({\displaystyle \frac{x}{2}}\right)}^{-\frac{1}{n}}\text{，}$$g_n(x)=2{\left({\displaystyle \frac{x}{2}}\right)}^{-n}$$\text{（}x>0\text{）}$

と定める．また，座標平面において，原点を中心とする半径$r_n$の円$C_n$が，曲線$y=f_n(x)\text{，}$$y=g_n(x)$のそれぞれと，第一象限においてただ$1$つの共有点をもつとする．

(1)　円$C_1$と曲線$y=f_1(x)$の共有点の座標は$(\text{ア},\text{イ})$である．

(2)　$n\geqq 2$とする．このとき，$2$曲線$y=f_n(x)\text{，}$$y=g_n(x)$はただ$1$つの共有点をもち，その座標は$(\text{ウ},\text{エ})$である．

(3)　$r_2=2^{\frac{\text{オ}}{\text{カ}}}\sqrt{\text{キ}}$である．

(4)　$n$が自然数全体の集合を動くとき，$r_n$は，$n=\text{ク}$のとき，最大値$\text{ケ}\sqrt{\text{コ}}$をとる．

(5)　$n\geqq 2$のとき，円$C_n$と$2$曲線$y=f_n(x)\text{，}$$y=g_n(x)$で囲まれた図形の面積を$S_n$とする．このとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\log n}{n}}=0$ということなどから，

$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n=\text{サ}-\text{シ}\pi$

であることがわかる．

【２】　$\{a_n\}$をすべての項が自然数であるような数列とする．また，$\{p_n\}\text{，}$$\{q_n\}$を

$p_1=1\text{，}$$p_2=a_1\text{，}$$p_n=a_{n-1}{p}_{n-1}+p_{n-2}$$\text{（}n\geqq 3\text{）}$

$q_1=0\text{，}$$q_2=1\text{，}$$q_n=a_{n-1}{q}_{n-1}+q_{n-2}$$\text{（}n\geqq 3\text{）}$

により定まる数列とする．

(1)　$p_n{q}_{n+1}-p_{n+1}{q}_n$の値を$n$の式で表せ．

(2)　$p_n$と$q_n$の最大公約数を求めよ．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }({\displaystyle \frac{p_n}{q_n}}-{\displaystyle \frac{p_{n+1}}{q_{n+1}}})$を求めよ．

(4)　$a$を自然数の定数とし，すべての自然数$n$に対して$a_n=a$である場合を考える．

(a)　$p_n$と$q_{n+1}$の間の関係を，できるだけ簡潔な式で表せ．

(b)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{p_n}{q_n}}$を求めよ．