2020　東京理科大学　グローバル方式2月18日実施MathJax

【１】　以下の問いに答えなさい．

(1)　白玉$n$個と赤玉$n$個が入った袋がある．この袋から同時に$2$個の玉を取り出すとき，取り出された$2$個の玉が同じ色である確率を$p_n$とすると

$p_4={\displaystyle \frac{\text{ア}}{\text{イ}}}\text{，}$$p_{10}={\displaystyle \frac{\text{ウ}}{\text{エ}\text{オ}}}$

である．

(2)　白玉$n$個，赤玉$n$個，および青玉$n$個が入った袋がある．この袋から同時に$3$個の玉を取り出すとき，取り出された$3$個の玉がすべて同じ色である確率を$q_n\text{，}$取り出された3個の玉がすべて異なる色である確率を$r_n$とすると

$q_4={\displaystyle \frac{\text{カ}}{\text{キ}\text{ク}}}\text{，}$$r_{10}={\displaystyle \frac{\text{ケ}\text{コ}}{\text{サ}\text{シ}\text{ス}}}$

である．

(3)　$1$から$30$までの番号をつけた$30$枚のカードがある．

(a)　$30$枚のカードから$2$枚のカードを同時に取り出すとき，取り出された$2$枚のカードに書かれた番号の和が偶数になる確率は${\displaystyle \frac{\text{セ}\text{ソ}}{\text{タ}\text{チ}}}$である．

(b)　$30$枚のカードから$3$枚のカードを同時に取り出すとき，取り出された$3$枚のカードに書かれた番号の和が$3$の倍数になる確率は${\displaystyle \frac{\text{ツ}\text{テ}}{\text{ト}\text{ナ}\text{ニ}}}$である．

【２】　関数$f(x)$を$f(x)=|x^2-3x|-x$とする．また関数$g(x)$を$g(x)=f(f(x))$とする．このとき，以下の問いに答えなさい．

(1)　方程式$f(x)=k$が異なる$4$個の実数解をもつ定数$k$の値の範囲は

$\text{ア}<k<\text{イ}$

である．

(2)　関数$g(x)$の$-1\leqq x\leqq 2$における最大値は$\text{ウ}$であり，最小値は$-\text{エ}$である．

(3)　方程式$g(x)=-3$の解は

$x=\text{オ}+\sqrt{\text{カ}}\text{，}$$\text{キ}-\sqrt{\text{ク}}$

である．

【３】　以下の問いに答えなさい．

(1)　実数$x\text{，}$$y$が

$\left|x\right|+\left|y\right|=4$

を満たすとき，$\sqrt{x^2+y^2}$の最大値は$\text{ア}$であり，最小値は$\text{イ}\sqrt{\text{ウ}}$である．

(2)　実数$x\text{，}$$y$が

$|x+y|+|x-y|=8$

を満たすとき，$\sqrt{x^2+y^2}$の最大値は$\text{エ}\sqrt{\text{オ}}$であり，最小値は$\text{力}$である．

(3)　実数$x\text{，}$$y$が

$|2x+y|+|2x-y|+|x+2y|+|x-2y|=24$

を満たすとき，$\sqrt{x^2+y^2}$の最大値は$\text{キ}\sqrt{\text{ク}}$であり，最小値は$\text{ケ}$である．

【４】　台形$\mathrm{OABC}$が，辺$\mathrm{OA}$を直径とする円に内接している．$\mathrm{OA}$の長さを$2\text{，}$台形の内角$\mathrm{\angle AOC}=\alpha$とするとき，以下の問いに答えなさい．

(1)　辺$\mathrm{OC}$および$\mathrm{BC}$の長さを$\alpha$を用いて表すと，$\mathrm{OC}=\text{ア}\cos \alpha \text{，}$$\mathrm{BC}=\text{イ}-\text{ウ}{\cos }^2\alpha$である．

(2)　$\alpha$のとり得る値の範囲は${\displaystyle \frac{\text{エ}}{\text{オ}}}\pi <\alpha <{\displaystyle \frac{\text{カ}}{\text{キ}}}\pi$である．$\alpha$がこの範囲を動くとき，台形$\mathrm{OABC}$の面積は$\alpha ={\displaystyle \frac{\text{ク}}{\text{ケ}}}\pi$で最大値${\displaystyle \frac{\text{コ}}{\text{サ}}}\sqrt{\text{シ}}$をとる．

(3)　座標平面において，点$\mathrm{O}$を原点に，点$\mathrm{A}$を$(2,0)$にとる．$\mathrm{OP}+\mathrm{AP}=\mathrm{OC}+\mathrm{AC}$を満たす動点$\mathrm{P}$$(x,y)$の軌跡を表す方程式は

${\displaystyle \frac{{(x-\text{ス})}^2}{\text{セ}+\text{ソ}\cos \alpha \sin \alpha }}+{\displaystyle \frac{y^2}{\text{タ}\cos \alpha \sin \alpha }}=1$

である．

【５】　以下の定積分の値を求めなさい．ただし，$e$は自然対数の底で，$\log x$は$x$の自然対数を表す．

(1)　${\displaystyle {\int }_1^e}{\displaystyle \frac{1+\log x}{2x}}\mathit{dx}={\displaystyle \frac{\text{ア}}{\text{イ}}}$

(2)　${\displaystyle {\int }_1^3}\log (1+{\displaystyle \frac{1}{x}})\mathit{dx}=\text{ウ}\log {\displaystyle \frac{\text{エ}}{\text{オ}}}$

(3)　${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{4}}}{\sin }^{5}x\mathit{dx}={\displaystyle \frac{\text{カ}}{\text{キ}\text{ク}}}-{\displaystyle \frac{\text{ケ}\text{コ}}{\text{サ}\text{シ}\text{ス}}}\sqrt{\text{セ}}$

【６】　座標空間において，点$\mathrm{A}$$(\sqrt{2},0,0)\text{，}$点$\mathrm{B}$$(0,0,\sqrt{2})$をとる．$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$を頂点にもつ正四面体$\mathrm{ABCD}$を考える．以下の問いに答えなさい．

(1)　この正四面体の体積は${\displaystyle \frac{\text{ア}}{\text{イ}}}\sqrt{\text{ウ}}$である．

　次に辺$\mathrm{AB}$を軸としてこの正四面体を$1$回転させてできる立体を考える．

(2)　$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$以外の頂点が描く軌跡上の点の$z$座標を$q$とする．$q$のとり得る値の範囲は

${\displaystyle \frac{\text{エ}}{\text{オ}}}(\sqrt{\text{カ}}-\sqrt{\text{キ}})\leqq q$$\leqq {\displaystyle \frac{\text{エ}}{\text{オ}}}(\sqrt{\text{カ}}+\sqrt{\text{キ}})$

と表される．

(3)　この立体の体積は$\text{ク}\pi$である．