2020　東京理科大学　理学部第二部3月4日実施MathJax

【１】　次の$$内のアからケにあてはまる$0$から$9$までの整数を求めて，解答用マークシートの指定された行にあるその数をマークしなさい．ただし，$\text{，}$$$はそれぞれ$2$桁，$3$桁の数を表すものとする．なお，$\text{ア}$などが$2$度現れる場合，$2$度目は$\text{ア}$などのように網掛けで表記する．

　$n\text{，}$$a\text{，}$$b$を正の整数とし，以下の$2$つの等式

$n+50=a^2\text{，}$$n-50=b^2$

を満たすとする．

(1)　$(a+b)(a-b)=\text{ア}\text{イ}\text{ウ}$である．

(2)　$\text{ア}\text{イ}\text{ウ}$の正の約数の個数は$\text{エ}$である．

(3)　$a=\text{オ}\text{カ}\text{，}$$b=\text{キ}\text{ク}$である．

(4)　$n^{2020}$を$5$で割った余りは$\text{ケ}$である．

【２】　次の$$内のコからミにあてはまる$0$から$9$までの整数を求めて，解答用マークシートの指定された行にあるその数をマークしなさい．ただし，$\text{，}$$$はそれぞれ$2$桁，$3$桁の数を表すものとし，分数は既約分数として表すものとする．また，根号を含む形で解答する場合は，根号の中に現れる自然数が最小になる形で答えなさい．

　座標平面上で，曲線$y={\displaystyle \frac{2}{x^2}}$を$C$とし，$C$上の点$\mathrm{P}$の座標を$(t,{\displaystyle \frac{2}{t^2}})$とする．ただし，$t>0$とする．点$\mathrm{P}$における$C$の接線を$l_1$とし，$l_1$と直交し原点$\mathrm{O}$を通る直線を$l_2$とする．また，$l_1$と$l_2$の交点を$\mathrm{Q}$とする．

(1)　$t=1$のとき，$l_1$の方程式は$y=-\text{コ}x+\text{サ}$であり，点$\mathrm{Q}$の座標は$({\displaystyle \frac{\text{シ}\text{ス}}{\text{セ}\text{ソ}}},{\displaystyle \frac{\text{タ}}{\text{チ}\text{ツ}}})$である．

(2)　点$\mathrm{Q}$の座標を$t$を用いて表すと

$({\displaystyle \frac{\text{テ}\text{ト}t}{t^6+\text{ナ}\text{ニ}}},{\displaystyle \frac{\text{ヌ}{t}^4}{t^6+\text{ネ}\text{ノ}}})$

となる．

(3)　原点$\mathrm{<mspace\; width=".2em"></mspace>O}$と点$\mathrm{Q}$との距離を$\mathrm{OQ}$とし，${\mathrm{OQ}}^2=f(t)$と表す．$f^{\prime }(t)$を$f(t)$の導関数とすると，

$f^{\prime }(t)={\displaystyle \frac{-\text{ハ}\text{ヒ}\text{フ}t(t^6-\text{ヘ})}{{(t^6+\text{ホ}\text{マ})}^2}}$

となる．よって，$t>0$において，関数$f(t)$は$t=\sqrt{\text{ミ}}$で極大値をとる．

【３】　次の$$内のムからリにあてはまる$0$から$9$までの整数を求めて，解答用マークシートの指定された行にあるその数をマークしなさい．ただし，分数は既約分数として表すものとする．また，根号を含む形で解答する場合は，根号の中に現れる自然数が最小になる形で答えなさい．

　空間の$3$つのベクトルを$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$とする．ただし，それらの大きさはそれぞれ$1$であるとする．また，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角は${\displaystyle \frac{\pi }{3}}\text{，}$$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}$は垂直，$\overrightarrow{c}$と$\overrightarrow{a}$のなす角は${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$であるとする．

　実数$t$が$0\leqq t\leqq 2\pi$の範囲を動くとき，${|\overrightarrow{a}+(\sin t)\overrightarrow{b}+(\cos t)\overrightarrow{c}|}^2$は$t={\displaystyle \frac{\text{ム}}{\text{メ}}}\pi$で最小値$\text{モ}-\sqrt{\text{ヤ}}$をとり，$t={\displaystyle \frac{\text{ユ}}{\text{ヨ}}}$で最大値$\text{ラ}+\sqrt{\text{リ}}$をとる．

【４】　次の$$内のルからン，あからうにあてはまる$0$から$9$までの整数を求めて，解答用マークシートの指定された行にあるその数をマークしなさい．ただし，$$は$2$桁の数を表すものとし，分数は既約分数として表すものとする．また，根号を含む形で解答する場合は，根号の中に現れる自然数が最小になる形で答えなさい．

　$i$を虚数単位とする．$\mathrm{O}$を原点とする複素数平面上で，$3$つの複素数$z_1=1+i\text{，}$$z_2=2+i\text{，}$$z_3=3+i$が表す点をそれぞれ$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$とする．一般に，複素数平面上の異なる$3$つの点$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{F}$に対し，反時計回りを正の向きとして，線分$\mathrm{DE}$を点$\mathrm{D}$を中心に線分$\mathrm{DF}$に重なるまで回転した角を$\mathrm{\angle EDF}$で表すことにする．ただし，$0\leqq \mathrm{\angle EDF}<2\pi$とする．

(1)　$z_1{z}_2=\text{ル}+\text{レ}i\text{，}$$z_1{z}_2{z}_3=\text{ロ}+\text{ワ}\text{ヲ}i$である．

(2)　実数$t$は$0\leqq t\leqq 3$を満たし，$t$が表す実軸上の点を$\mathrm{P}$とする．ただし，$\mathrm{\angle CPA}={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$である．このとき，$t=\text{ソ}-\sqrt{\text{あ}}$である．

(3)　点$\mathrm{P}$を(2)で定めたものとする．このとき，

$\mathrm{\angle POA}+\mathrm{\angle POB}+\mathrm{\angle POC}+\mathrm{\angle CPA}={\displaystyle \frac{\text{い}}{\text{う}}}\pi$

が成り立つ．

【５】　次の$$内のえからねにあてはまる$0$から$9$までの整数を求めて，解答用マークシートの指定された行にあるその数をマークしなさい．ただし，$$は$4$桁の数を表すものとする．

　$n$を正の整数とし，次の等式(A)

$x^{n+1}=(x^3-6x^2+12x-8)Q_n(x)$$+a_n{x}^2+b_{n}x+c_n$$\cdots$(A)

が実数$x$についての恒等式となるような整式$Q_n(z)\text{，}$整数の定数$a_n\text{，}$$b_n\text{，}$$c_n$を考える．

(1)　$3$次方程式$x^3-6x^2+12x-8=0$が$\text{え}$を解にもつので，(A)より，

${\text{お}}^{n+1}=\text{か}{a}_n+\text{き}{b}_n+\text{く}{c}_n$$\cdots$(B)

が成り立つ．ただし，(B)の両辺は$0$でないものとする．

(2)　(A)の両辺をそれぞれ$x$の関数と考え，$x$について微分することを利用すると，$a_n\text{，}$$b_n\text{，}$$c_n$がそれぞれ求められる．よって，

$a_{100}={\text{け}}^{100}\cdot \text{こ}\text{さ}\text{し}\text{す}\text{，}$

$b_{100}=-{\text{せ}}^{100}\cdot \text{そ}\text{た}\text{ち}\text{つ}\text{，}$

$c_{100}={\text{て}}^{100}\cdot \text{と}\text{な}\text{に}\text{ぬ}$

となる．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }\left|{\displaystyle \frac{b_n-c_n}{a_n}}\right|=\text{ね}$が成り立つ．

【６】　次の$$内ののからめにあてはまる$0$から$9$までの整数を求めて，解答用マークシートの指定された行にあるその数をマークしなさい．ただし，分数は既約分数として表すものとする．

　$a\text{，}$$b$を実数とする．座標平面上で，曲線$y=x^2+2x-3$を$C_1$とし，曲線$y={(x+a)}^2+b$を$C_2$とする．$C_2$は$2$点$\mathrm{A}$$(1,9)$と$\mathrm{B}$$(5,17)$を通る．また，直線$l$は$C_1$と$C_2$の両方に接しているとする．

(1)　$a=-\text{の}\text{，}$$b=\text{は}$である．また，$C_1$と$C_2$の交点の$x$座標は${\displaystyle \frac{\text{ひ}}{\text{ふ}}}$である．

(2)　直線$l$の方程式は$y=\text{へ}x-\text{ほ}$である．また，$C_1$と$l$との接点の$x$座標は$\text{ま}$であり，$C_2$と$l$との接点の$x$座標は$\text{み}$である．

(3)　$2$つの曲線$C_1\text{，}$$C_2$と直線$l$によって囲まれた部分の面積は${\displaystyle \frac{\text{む}}{\text{め}}}$である．