2020　東邦大学　理学部A日程MathJax

　変数$x$を用いて，次の初項と漸化式で数列$\{a_n\}$を定義する．

$a_1={\displaystyle \frac{1}{3}}\text{，}$$a_{n+1}={\displaystyle \frac{n(n+2)x}{(n+1)(n+3)}}{a}_n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{．}3\text{．}\cdots \text{）}$

(ⅰ)　$b_n=n(n+2)a_n$とすると，数列$\{b_n\}$の漸化式は変数$x$を用いて$b_{n+1}=\text{ケ}$となる．よって，数列$\{b_n)$の一般項は変数$x$を用いて$b_n=\text{コ}$とあらわされる．

(ⅱ)　数列$\{a_n\}$の一般項は変数$x$を用いて$a_n=\text{サ}$とあらわされる．

(ⅲ)　$x=1$とする．$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{a_k}{k+1}}$とするとき，$S_1={\displaystyle \frac{1}{6}}\text{．}$$S_2=\text{シ}$となる．

(ⅳ)　ここで，

${\displaystyle \frac{2}{k(k+1)(k+2)}}={\displaystyle \frac{1}{k(k+1)}}-\text{ス}$

となることを用いれば，$S_n=\text{セ}$が得られる．

(ⅰ)　$\mathrm{O}$を原点とする$xy$座標平面上に，関数$y=f(x)$のグラフを描け，

(ⅱ)　関数$y=f(x)$と，定数関数$y=p$のグラフの共有点がちょうど$4$つであるような$p$の値の範囲を求めよ．

(ⅲ)　関数$y=f(x)$と，関数$y=q(x-2)$のグラフの共有点がちょうど$3$つになるような$q$の値をすべて求めよ．

(ⅳ)　関数$y=f(x)$と，関数$y=r(x-3)$のグラフの共有点がちょうど$2$つになるような$r$の値の範囲を求めよ．