2020　東邦大学　医学部医学科MathJax

2020-13460-0201

2020　東邦大学　医学部医学科

1月29日実施

易□　並□　難□

【１】　座標平面において， $2$ つの放物線 $y = x^{2} + 2 x - 2 ，$ $y = - x^{2} + 4 x + 10$ は異なる $2$ つの共有点をもつ． $2$ つの共有点を通る直線の方程式は $y = ア x + イ$ である．また， $2$ つの共有点および原点を通り． $y$ 軸と平行な軸をもつ放物線の方程式は $y = \frac{ウ}{エ} x^{2} + \frac{オ}{カ} x$ である．

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【２】　 $AB = 5 ．$ $CA = 7$ である $▵ABC$ において， $∠A$ の二等分線と辺 $BC$ との交点を $D ，$ $∠B$ の二等分線と辺 $CA$ との交点を $E ．$ 線分 $AD$ と線分 $BE$ との交点を $F$ とする． $AF : FD = 3 : 1$ のとき， $BD = \frac{キ}{ク}$ であり， $\frac{BF}{EF} = \frac{ケ}{コ}$ である．

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【３】　実数 $x ．$ $y ．$ $z$ が $x + y + z = 1 ．$ $x^{3} + y^{3} + z^{3} = 13 ，$ $x y z = - 2$ を満たすとき， $x y + y z + z x = サシ，$ $x^{4} + y^{4} + z^{4} = スセ$ である．

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【４】　 $O$ を原点とする座標平面上に $2$ 点 $A ，$ $B$ があり， $\vec{OA} \cdot \vec{OB} = 10 ．$ $\vec{OA} \cdot \vec{AB} = - 15 ．$ $\vec{OB} \cdot \vec{AB} = - 2$ が成り立つ．このとき， $| \vec{AB} | = \sqrt{アイ}$ であり， $▵OAB$ の外接円の半径は， $\frac{\sqrt{ウエ}}{オ}$ である．

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【５】　座標平面の第 $1$ 象限において $2$ つの曲線 $y = a (x + \frac{1}{x}) ，$ $x^{2} + y^{2} = 1$ が接するとき，定数 $a$ の値は $a = \frac{\sqrt{カ}}{キ}$ であり，接点における接線の方程式は $\sqrt{ク} x + ケ y = \sqrt{コ}$ である．

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【６】　 $n + 4$ が $13$ の倍数であり． $n + 13$ が $4$ の倍数であるような自然数 $n$ を $104$ で割ったときの余りは $サシ$ または $スセ$ である．ただし， $サシ < スセ$ である．

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【７】　変量 $x$ の値は $1$ から $10$ までの自然数をとり得る． $x$ についての $n$ 個のデータの値 $x_{1} ，$ $x_{2} ，$ $\dots ，$ $x_{n}$ が与えられたとき， $k$ 個のデータの値 $x_{1} ，$ $x_{2} ．$ $\dots ，$ $x_{k}$ $（ 1 ≦ k ≦ n ）$ の平均値を $\overline{x_{k}}$ と表す．

　今， $30$ 個のデータの値 $x_{1} ，$ $x_{2} ，$ $\dots ，$ $x_{30}$ について， $x_{27} = 8$ かつ $\overline{x_{30}} ≧ 8$ が成り立つとする．このとき， $x_{28} + x_{29} + x_{30}$ がとり得る最小の値は $ソタ$ である．また， $3$ 個のデータの値 $x_{28} ，$ $x_{29} ，$ $x_{30}$ の組を $(x_{28}, x_{29}, x_{30})$ と表すとき， $({.x}_{28}, x_{28}, x_{30})$ は全部で $チツ$ 組ある．

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【８】　 $S_{n} = \sum_{k = 0}^{32} n^{k} {}_{32}C_{k}$ $（ n = 0 ，$ $1 ）$ とする． $\log_{2} S_{9} - アイ$ であり， $\log_{2} S_{1} = ウエ$ である．

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【９】　 $α ＝ \frac{π}{4} ，$ $β = \frac{3}{4} π$ のとき， $\tan \frac{α}{2} + \tan \frac{β}{2} = オ \sqrt{カ}$ である． $\int_{0}^{1} \frac{dx}{x^{2} - \sqrt{2} x + 1} = \frac{キ \sqrt{ク}}{ケ} π$ であり， $\int_{0}^{1} \frac{x^{2} + 1}{x^{4} + 1} dx = \frac{\sqrt{コ}}{サ} π$ である．

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【10】　正の定数 $a ．$ $b$ について． $x ≧ 0$ を満たすすべての実数 $x$ に関する不等式 $0 ≦ a - \frac{1}{4 + x} ≦ b x$ が成り立つ．このとき， $b$ のとり得る最小の値は $\frac{シ}{スセ}$ である．また， $n$ を自然数として，

$S_{n} = \frac{1}{4 n^{2} + 1}$ $+ \frac{2}{4 n^{2} + 2}$ $+ \frac{3}{4 n^{2} + 3}$ $+ \dots$ $+ \frac{n - 1}{4 n^{2} + n - 1}$ $+ \frac{n}{4 n^{2} + n}$

とするとき， $\lim_{n \to \infty} S_{n} = \frac{ソ}{タ}$ である．