2020　早稲田大学　人間科学部MathJax

【１】(1)　外見では区別がつかず，中身も見えない袋が$2$種類あり，それぞれ$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$とする．$\mathrm{A}$には赤玉$1$個と白玉$4$個，$\mathrm{B}$には赤玉$3$個と白玉$2$個が入っている．いま，$\mathrm{A}$が$1$袋，$\mathrm{B}$が$5$袋用意されており，これら$6$つの袋から$1$つの袋を選び，選んだ袋の中から玉を$1$つ取り出すこととする．どの袋も選ばれる確率が等しく，また，袋の中のどの玉も選ばれる確率は等しいとき，$\mathrm{B}$を選び，かつ白玉が取り出される確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}$である．どちらの袋であるかを問わず，白玉が取り出される確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}$である．また，取り出された玉が白玉であるとき，その玉が$\mathrm{A}$から取り出された確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}$である．

【１】(2)　整数の組$(x_1,x_2,x_3)$について，$1\leqq x_1<x_2<x_3\leqq 6$となるような組み合わせは$\boxed{\text{キ}}$通りあり，$1\leqq x_1\leqq x_2<x_3\leqq 6$となるような組み合わせは$\boxed{\text{ク}}$通りある．

【２】　${\displaystyle \frac{1}{2+\sin \alpha }}+{\displaystyle \frac{1}{2+\sin 2\beta }}=2$のとき，$|\alpha +\beta -8\pi |$の最小値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}\pi$である．

【３】　四面体$\mathrm{OABC}$において，

$\mathrm{OA}=3\text{，}$$\mathrm{OB}=4\text{，}$$\mathrm{OC}=6\text{，}$$\mathrm{\angle AOB}=\mathrm{\angle BOC}=\mathrm{\angle COA}=60\mathrm{°}$

とする．三角形$\mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{P}$とするとき，

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セ}}}}\overrightarrow{\mathrm{OB}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}}}{\boxed{\text{タ}}}}\overrightarrow{\mathrm{OC}}$

である．

【４】　点$\mathrm{A}$$(0,a)$を中心とする円が，放物線$y=x^2-{\displaystyle \frac{1}{2}}$と異なる$2$点$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$で接するとき，$a>\boxed{\text{チ}}$である．このとき，三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$k{a}^n\text{，}$線分$\mathrm{BC}$と放物線で囲まれた領域の面積は$t{a}^q$となる．ただし，

• $k={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ツ}}}{\boxed{\text{テ}}}}$
• $p={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ト}}}{\boxed{\text{ナ}}}}$
• $l={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニ}}}{\boxed{\text{ヌ}}}}$
• $q={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ネ}}}{\boxed{\text{ノ}}}}$

である．

【５】　$4$点$\mathrm{A}$$(3,0,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(0,6,0)\text{，}$$\mathrm{C}$$(0,0,9)\text{，}$$\mathrm{P}$$(x,y,z)$があり，点$\mathrm{P}$から$xy$平面に下ろした垂線の足を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{P}$が$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$を含む平面上を，${\mathrm{AP}}^2+{\mathrm{BP}}^2+{\mathrm{CP}}^2\leqq 100$を満たしつつ動くとき，$\mathrm{P}$が動きうる領域の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ハ}}}{\boxed{\text{ヒ}}}}\pi$であり，$\mathrm{Q}$が動きうる領域の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{フ}}}{\boxed{\text{ヘ}}}}\pi$である．

【４】　複素数平面上に点$\mathrm{A}(4)$を中心とする半径$1$の円$C$がある．円$C$上の点$\mathrm{P}(z)$を原点$\mathrm{O}$の周りに${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$回転した点を$\mathrm{Q}(w)$とする．線分$\mathrm{AQ}$の長さが最大となるとき，$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$を通る円の中心は$\boxed{\text{チ}}+\sqrt{\boxed{\text{ッ}}}i\text{，}$半径は$\sqrt{\boxed{\text{テ}}}$である．

【５】　原点を$\mathrm{O}$とし，点$(0,0,1)$を通り$z$軸に垂直な平面を$\alpha$とする．点$\mathrm{A}$は$x$軸上，点$\mathrm{B}$は$y$軸上，点$\mathrm{C}$は$z$軸上の$x\geqq 0\text{，}$$y\geqq 0\text{，}$$z\geqq 0$の領域を，$\mathrm{AC}=\mathrm{BC}=8$を満たしつつ動く．平面$\alpha$と$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{P}$とする．点$\mathrm{P}$の$x$座標は$\mathrm{\angle OCA}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ト}}}{\boxed{\text{ナ}}}}\pi$のときに最大となる．また，三角形$\mathrm{ABC}$の辺および内部の点が動きうる領域を$V$とする．ただし，点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$がともに原点$\mathrm{O}$に重なるときは，三角形$\mathrm{ABC}$は線分$\mathrm{OC}$とみなす．このとき，平面$\alpha$による$V$の断面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニ}}}{\boxed{\text{ヌ}}}}$であり，領域$V$の体積に最も近い整数は$\boxed{\text{ネ}}$である．