2020　早稲田大学　教育学部MathJax

【１】　次の各問の解答を所定欄に記入せよ．

(1)　$n$を偶数とする．袋の中に白玉$n$個と赤玉$1$個が入っている．$2$人が交互に$1$つずつ袋から玉を無作為に取り出し，取り出した玉は袋に戻さない．赤玉を取り出した人が勝利とするとき，先に取り始めた人が勝利する確率を求めよ．

【１】　次の各問の解答を所定欄に記入せよ．

(2)　座標空間において，原点$\mathrm{O}$を中心とし半径が$\sqrt{5}$の球面を$S$とする．点$\mathrm{A}$$(1,1,1)$からベクトル$\overrightarrow{u}=(0,1,-1)$と同じ向きに出た光線が球面$S$に点$\mathrm{B}$で当たり，反射して球面$S$の点$\mathrm{C}$に到達したとする．ただし反射光は，点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$が定める平面上を，直線$\mathrm{OB}$が$\mathrm{\angle ABC}$を二等分するように進むものとする．点$\mathrm{C}$の座標を求めよ．

【１】　次の各問の解答を所定欄に記入せよ．

(3)　曲線$y=\log x$を$C$とし，原点を通り$C$と接する直線を$l$とする．$l$と$C$と$x$軸によって囲まれた部分を$x$軸の周りに$1$回転して得られる立体の体積を求めよ．

【１】　次の各問の解答を所定欄に記入せよ．

(4)　$f(x)$は$x>0$で定義された連続関数で，$f(2)=1$をみたす．また，任意の$a>0$と$b>0$に対して，

${\displaystyle {\int }_{a^2}^{a^{3}b}}f(t)\mathit{dt}-{\displaystyle {\int }_a^{a^2}}f(t)\mathit{dt}$

の値は$a$によらないものとする．このとき，関数$f(x)$を求めよ．

【２】　半径$1$の円に外接する$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$の二等辺三角形$\mathrm{ABC}$において$\mathrm{\angle BAC}=2\theta$とする．

(1)　$\mathrm{AC}$を$\theta$の三角関数を用いて表せ．

(2)　$\mathrm{AC}$が最小となるときの$\sin \theta$を求めよ．

【３】　座標平面上で，$C_0$を楕円${\displaystyle \frac{x^2}{4}}+y^2=1$とし，$n\geqq 1$について，$C_0$と相似な楕円$C_n$を順番に次のように定める．

$C_n$の短軸は，$y$軸と平行な$C_{n-1}$の弦で，$C_{n-1}$の中心より右にあり，その長さは$C_{n-1}$の短軸の長さの半分である．

(1)　$n\geqq 0$について，楕円$C_n$の中心の$x$座標を$a_n$とする．$a_n$を$n$を用いて表せ．

(2)　$n\geqq 0$について，$C_n$で囲まれた部分を$D_n$とし，$D_0\text{，}$$D_1\text{，}$$\cdots \text{，}$$D_n$の少なくとも$1$つに含まれる点の全体がなす領域$D_0\cup D_1\cup \cdots \cup D_n$の面積を$S_n$とする．$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$を求めよ．

【４】　座標平面上で，定数$k>0$に対し，曲線$y={\displaystyle \frac{k}{\sqrt{1+x^2}}}$の$0\leqq x\leqq 1$の部分を$C_k$とする．

(1)　曲線$C_k$上の点と原点との距離の最大値$M(k)$を求めよ．

(2)　原点を中心に曲線$C_k$を$1$回転させるとき，$C_k$が通る部分の面積$S(k)$を求めよ．