2020　早稲田大学　政治経済学部MathJax

【１】　次の各問に答えよ．答のみ解答欄に記入せよ．

(1)　$20220$の正の約数の個数を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．答のみ解答欄に記入せよ．

(2)　大中小$3$個のさいころを同時に投げ，出た目をそれぞれ$X\text{，}$$Y\text{，}$$Z$とする．このとき，${\log }_3\left({\displaystyle \frac{XY}{Z}}\right)$が整数となる確率を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．答のみ解答欄に記入せよ．

(3)　$xy$平面上の放物線$y=x^2$を$C$とし，異なる$2$点で$C$と交わる直線$y=ax+b$を$l$とする．$C$と$l$で囲まれた図形の面積が${\displaystyle \frac{4}{3}}$であるとき，$2$つの交点の中点$(X,Y)$の軌跡の式を求めよ．

【２】　面積が$1$である$\mathrm{▵ABC}$の内部の点$\mathrm{P}$について，等式$3\overrightarrow{\mathrm{PA}}+x\overrightarrow{\mathrm{PB}}+2x\overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{0}$$\text{（}x>0\text{）}$が成り立つとする．ある数$k$$\text{（}0<k<1\text{）}$について$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=k\overrightarrow{\mathrm{AD}}$を満たす線分$\mathrm{BC}$上の点を$\mathrm{D}$とする．次の各問に答えよ．答のみ解答欄に記入せよ．

(1)　ある数$l$$\text{（}0<l<1\text{）}$について$\overrightarrow{\mathrm{BD}}=l\overrightarrow{\mathrm{BC}}$が成り立つ．$l$の値を求めよ．

(2)　$\mathrm{▵PCA}$の面積を$t$とするとき，$\mathrm{▵PAB}\text{，}$$\mathrm{▵PBC}$の面積を$t$の式で表せ．

(3)　$3$つの三角形$\mathrm{▵PCA}\text{，}$$\mathrm{▵PAB}\text{，}$$\mathrm{▵PBC}$の面積の積が最大となるときの$x$の値を求めよ．

【３】　性能の相異なるジュース製造機が全部で$n$台ある．$1$台目を使って$x\mathrm{L}$(リットル)のジュースを製造すると$x^2$円の費用が掛かり，$2$台目を使って$x\mathrm{L}$のジュースを製造すると$2x^2$円の費用が掛かる．以下，同様にして，$k$台目の製造機を使って$x\mathrm{L}$のジュースを製造すると$2^{k-1}{x}^2$円の費用が掛かる（$k=2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{，}$$n$）．以下の空欄$\boxed{\text{あ}}\text{〜}$$\boxed{\text{か}}$に当てはまる数または数式を求めよ．答のみ解答欄に記入せよ．

(1)　$1$台目と$2$台目の製造機のみを使って合計$x\mathrm{L}$のジュースを製造するとき，必要となる費用の最小額を計算したい．$1$台目を使って$t\mathrm{L}$$\text{（}0\leqq t\leqq x\text{）}$のジュースを製造し，$2$台目を使って残りの$(x-t)\mathrm{L}$のジュースを製造するとき，必要となる費用の総額を$t$を含む式として表せば$\boxed{\text{あ}}$円となる．この値が最小になるように$t$の値を選べば，その結果として，費用の総額の最小値は$\boxed{\text{い}}{x}^2$円となる．

(2)　$1$台目，$2$台目，$3$台目の製造機を使って合計$x\mathrm{L}$のジュースを製造する．$1$台目と$2$台目を使って合計$t\mathrm{L}$$\text{（}0\leqq t\leqq x\text{）}$のジュースを製造し，$3$台目を使って残りの$(x-t)\mathrm{L}$のジュースを製造するとき，必要となる費用の総額の最小値を$t$を含む式として表せば$\boxed{\text{う}}$円となる．この値が最小になるように$t$の値を選べば，その結果として，費用の総額の最小値は$\boxed{\text{え}}{x}^2$円となる．

(3)　$1$台目から$k$台目までの製造機を使って合計$x\mathrm{L}$のジュースを製造するときに必要な費用の総額の最小値が$a_k{x}^2$円に等しいとき，$a_k$と$a_{k-1}$のあいだには$a_k=\boxed{\text{お}}$という関係がある．これを利用すれば，$n$台すべての製造機を使って合計$x\mathrm{L}$のジュースを製造するときに必要な費用の総額の最小値が$\boxed{\text{か}}{x}^2$円となることが分かる．

【４】　$xy$平面上の異なる$2$つの曲線$C_1\text{：}y=x^2\text{，}$$C_2\text{：}y=a{x}^2+bx+ab$$\text{（}a\ne 0\text{）}$について，次の各問に答えよ．

(1)　$b\ne 0$であるとき，$C_1$と$C_2$の両方に接する直線（共通接線）がただ$1$つ存在するための$a\text{，}$$b$についての必要十分条件を求めよ．

(2)　$C_1$と$C_2$の共通接線が$1$つ以上存在するとき，点$(a,b)$の存在する領域を解答欄の$ab$平面上に図示せよ．