2020　早稲田大学　商学部MathJax

【１】　$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{エ}}$にあてはまる数または式を記述解答用紙の所定欄に記入せよ．

(1)　$m\text{，}$$n$を正の整数とする．$n$次関数$f(x)$が，次の等式を満たしているとき，$f(x)=\boxed{\text{ア}}$である．

${\displaystyle {\int }_0^x}{(x-t)}^{m-1}f(t)\mathit{dt}={\{f(x)\}}^m$

【１】　$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{エ}}$にあてはまる数または式を記述解答用紙の所定欄に記入せよ．

(2)　整数$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d$は，次の条件(ⅰ)，(ⅱ)，(ⅲ)を満たしている．

(ⅰ)　$3\leqq a<b<c<d$

(ⅱ)　$a-d\text{，}$$b-c$は$3$の倍数

(ⅲ)　$c^a-b^d$は$3$の倍数ではない

　このとき，$a+b+c+d$の最小値は$\boxed{\text{イ}}$である．

【１】　$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{エ}}$にあてはまる数または式を記述解答用紙の所定欄に記入せよ．

(3)　次の条件(ⅰ)，(ⅱ)を満たす実数$\theta$と数列$\{a_n\}$を考える．

(ⅰ)　$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{，}$$a_1=\tan \theta \text{，}$$a_{2020}=0$

(ⅱ)　すべての正の整数$n$に対して，$a_n\ne {\displaystyle \frac{1}{\tan \theta }}\text{，}$$a_{n+1}={\displaystyle \frac{\tan \theta +a_n}{1-a_n\tan \theta }}$

このとき，$\theta$の最小値は$\boxed{\text{ウ}}$である．

【１】　$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{エ}}$にあてはまる数または式を記述解答用紙の所定欄に記入せよ．

(4)　四面体$\mathrm{OABC}$において，$\cos \mathrm{\angle AOB}={\displaystyle \frac{1}{5}}\text{，}$$\cos \mathrm{\angle AOC}=-{\displaystyle \frac{1}{3}}$であり，面$\mathrm{OAB}$と面$\mathrm{OAC}$のなす角は${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$である．このとき，$\cos \mathrm{\angle BOC}=\boxed{\text{エ}}$である．

【２】　$a\text{，}$$b$を実数とし，$x$の$2$次関数$f(x)\text{，}$$g(x)$を

$f(x)=x^2+ax+b\text{，}$$g(x)=4x(1-x)$

とする．次の設問に答えよ．

(1)　$g(x)=x$となる$x$の値をすべて求めよ．

(2)　次の条件(＊)を満たす$f(x)$をすべて求めよ．

(＊)　$0<\alpha <{\displaystyle \frac{1}{2}}$である実数$\alpha$が存在して，$0$以上のすべての整数$n$に対して，$f(g^n(\alpha ))=g^n(\alpha )$となる．

　ただし，$9^0(\alpha )=\alpha \text{，}$$g^{n+1}(\alpha )=g(g^n(\alpha ))$$\text{（}n=0\text{，}$$1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots \text{）}$とする．

【３】　$\{x_n\}$を数列とする．$1\leqq k\leqq l$である整数$k\text{，}$$l$に対して，$\{x_n\}$の第$k$項から第$l$項までの平均${\displaystyle \frac{1}{l-k+1}}{\displaystyle \sum _{i=k}^l}{x}_i$を，$m(k,l)$と表す．数列$\{x_n\}$に対して，次の条件(＊)を満たす$1$以上$100$以下の整数$t$全体の集合を$S(\{x_n\})$とする．

(＊)　$1\leqq k\leqq t$であるすべての整数$k$に対して，$m(k,t)\geqq 40$

次の設問に答えよ．

(1)　数列$\{x_n\}$が，すべての正の整数$n$に対して，$x_n=n$であるとき，$S(\{x_n\})$の要素の個数を求めよ．

(2)　$1\leqq k\leqq l\leqq 100$である整数$k\text{，}$$l$が，次の条件(ⅰ)，(ⅱ)を満たすとする．

(ⅰ)　$k\ne 1$のとき，$k-1\in S(\{x_n\})$

(ⅱ)　$k\leqq j\leqq l$であるすべての整数$j$に対し，$j\notin S(\{x_n\})$

このとき，$m(k,l)<40$であることを示せ．

(3)　数列$\{x_n\}$が，すべての正の整数$n$に対して，$0\leqq x_n\leqq 100$であり，$m(1,100)\geqq 50$であるとき，$S(\{x_n\})$の要素の個数の最小値を求めよ．