2020　早稲田大学　社会科学部MathJax

【１】　$a\text{，}$$b$を定数とする．関数$f(x)=x^3-3a{x}^2+12x+b$は$x=\alpha$で極大値をとり，$x=\beta$で極小値をとる．次の問に答えよ．

(1)　$f(x)$が極大値および極小値をとるために，定数$a\text{，}$$b$が満たすべき条件を求めよ．

(2)　$f(x)$の導関数を$f^{\prime }(x)$とする．$x$の整式$f(x)$を整式$f^{\prime }(x)$で割ったときの余りを求めよ．

(3)　$f(\alpha )+f(\beta )$を$a\text{，}$$b$を用いて表せ．

(4)　$f(\alpha )+f(\beta )=0$となる実数の組$(a,b)$の集合を$ab$平面上に図示せよ．

【２】　$m\text{，}$$n$を自然数とする．次の問に答えよ．

(1)　関数$f(x)={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{(x-k)}^2$の最小値と，そのときの$x$の値を$n$を用いて表せ．

(2)　定数$a_1\text{，}$$a_2\text{，}$$a_3$は$a_1<a_2<a_3$を満たす．関数$g(x)=|x-a_1|+|x-a_2|+|x-a_3|$の最小値と，そのときの$x$の値を$a_1\text{，}$$a_2\text{，}$$a_3$を用いて表せ．

(3)　関数$h(x)={\displaystyle \sum _{k=1}^{2m+1}}|x-2^k|$の最小値と，そのときの$x$の値を$m$を用いて表せ．

【３】　座標平面上の$5$つの点${\mathrm{P}}_1$$(-\sqrt{5},0)\text{，}$${\mathrm{P}}_2$$(-{\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{2}},-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}})\text{，}$${\mathrm{P}}_3$$(0,0)\text{，}$${\mathrm{P}}_4$$({\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{2}},-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}})\text{，}$${\mathrm{P}}_5$$(\sqrt{5},0)$をそれぞれ中心とする半径$1$の円を$C_1\text{，}$$C_2\text{，}$$C_3\text{，}$$C_4\text{，}$$C_5$とする．次の問に答えよ．

(1)　$1$つ以上の円に囲まれる領域の面積を求めよ．

(2)　$2$つ以上の円と接する直線の本数を求めよ．

(3)　$3$つ以上の円と外接する円の半径をすべて求めよ．