2020　早稲田大学　人間科学部センター利用MathJax

【１】

(1)　$3$人で同時にじゃんけんをして，負けた人が抜けて残った人だけでじゃんけんを続け，最後に勝った$1$人を優勝者とする．ただし，抜ける人がいない場合も$1$回じゃんけんを行ったと数えることとする．このとき，$3$回目のじゃんけんで優勝者が決まる確率を求めよ．

【１】

(2)　すべての実数$x\text{，}$$y$に対して，$x+y\leqq k\sqrt{3x^2+y^2}$が成り立つような実数$k$の最小値を求めよ．

【１】

(3)　${\displaystyle \frac{x}{4}}+5$の小数第$2$位を四捨五入すると．$3x$に等しくなる．このときの$x$の値を求めよ．ただし，$x$は正の数とする．

【２】　三角形$\mathrm{OAB}$において，$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=3\text{，}$$\mathrm{AB}=4$とする．辺$\mathrm{AB}$の$3$等分点のうち，点$\mathrm{B}$に近い方の点を$\mathrm{C}$とし，辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とする．点$\mathrm{M}$を通り，直線$\mathrm{OA}$に垂直な直線を$l\text{，}$点$\mathrm{C}$を通り，直線$\mathrm{OA}$に平行な直線を$m$とする．また，直線$l$と直線$m$の交点を$\mathrm{P}$とし，直線$\mathrm{OP}$と直線$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．このとき．線分$\mathrm{QB}$の長さを求めよ．

【３】

(1)　$(a+b+c)x^2+(ab+bc+ca)x+abc=2x^2-5x-6$が$x$についての恒等式であるとき，${\displaystyle \frac{1}{a}}+{\displaystyle \frac{1}{b}}+{\displaystyle \frac{1}{c}}$と$a^2+b^2+c^2$の値を求めよ．

【３】

(2)　初項が$4$で，正の数からなる数列$\{a_n\}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots \text{）}$を考える．すべての自然数$n$に対して，

$8x^2-2a_{n+1}x+{\displaystyle \frac{1}{a_n}}=0$

が重解をもつとき，$a_n$を$n$の式で表せ．

【３】

(3)　$2\sin (\theta +{\displaystyle \frac{7}{6}}\pi )=\cos (\theta +{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$のとき，$\tan (\theta +{\displaystyle \frac{\pi }{12}})$の値を求めよ．

【４】　$1$辺の長さが$2$である立方体$P$の各頂点から等距離にある点$\mathrm{X}$を中心とする，半径$r$の球を$O_{\mathrm{X}}$とする．また，立方体$P$の各面の対角線の交点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{F}$を頂点とする正多面体を$Q$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　球$O_{\mathrm{X}}$が，正多面体$Q$に内接するときの$r$の値を求めよ．

(2)　点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{F}$を中心とし，球$O_{\mathrm{X}}$と外接する$6$つの球を$O_{\mathrm{A}}\text{，}$$O_{\mathrm{B}}\text{，}$$O_{\mathrm{C}}\text{，}$$O_{\mathrm{D}}\text{，}$$O_{\mathrm{E}}\text{，}$$O_{\mathrm{F}}$とする．これら$6$つの球と球$O_{\mathrm{X}}$のいずれかの内部にあり，かつ，立方体$P$の内部に含まれる部分の体積の合計を$V(r)$とする．このとき，$V(r)$の最小値，およびそのときの$r$の値を求めよ．

【５】　媒介変数$\theta$を用いて，$x(\theta )=e^{-\theta }\cos \theta \text{，}$$y(\theta )=e^{-\theta }\sin \theta$で表される曲線を$C$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　${\displaystyle \frac{\mathit{dx}}{\mathit{d\theta }}}$および${\displaystyle \frac{\mathit{dy}}{\mathit{d\theta }}}$を求めよ．

(2)　$x$を$\theta$の関数とみなす．このとき，$0\leqq \theta \leqq \pi$における$x$の最大値と最小値，およびそのときの$\theta$の値を求めよ．

(3)　曲線$C$の$\alpha \leqq \theta \leqq \beta$の部分の長さ$l$を$\alpha \text{，}$$\beta$を用いて表せ．さらに，自然数$n\geqq 1$に対して，曲線$C$の${\displaystyle \frac{(n-1)\pi }{2}}\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{n\pi }{2}}$の部分の長さを$l_n$とする．このとき，${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{l}_n$を求めよ．