2020　南山大　全学統一入試　2月7日実施MathJax

【１】　$$の中に答を入れよ．

(1)　関数$y={(x^2-5x)}^2-4(x^2-5x)+3$$\text{（}-1\leqq x\leqq 1\text{）}$を考える．$x^2-5x=t$とすると，$t$のとりうる値の範囲は$\text{ア}$である．また，$y$のとりうる値の範囲は$\text{イ}$である．

【１】　$$の中に答を入れよ．

(2)　じゃんけんを$3$人でして，負けた者から順に抜けていき，最後に残った$1$人を優勝者とする．$1$回で優勝者が決まる確率は$\text{ウ}$である．ちょうど$3$回目で優勝者が決まる確率は$\text{エ}$である．

【１】　$$の中に答を入れよ．

(3)　$4320$の正の約数は全部で$\text{オ}$個ある．$4320$の正の約数のうち，その数の正の約数がちょうど$12$個あるものは全部で$\text{カ}$個ある．

【１】　$$の中に答を入れよ．

(4)　$\mathrm{▵ABC}$の辺の長さを$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=5\text{，}$$\mathrm{BC}=8$とする．頂点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$を通り，直線$\mathrm{AC}$を接線とする円を$O$とし，$O$と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とする．このとき，${\displaystyle \frac{\mathrm{\angle ADB}}{\mathrm{\angle ACB}}}$の値を求めると${\displaystyle \frac{\mathrm{\angle ADB}}{\mathrm{\angle ACB}}}=\text{キ}$である．また，円$O$の半径$R$を求めると$R=\text{ク}$である．

【２】　$a$を$0$以上の実数とし，関数$f(x)={\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^4-{\displaystyle \frac{a^2}{2}}{x}^2$を考える．また，$2$次関数$g(x)$は${\displaystyle {\int }_0^x}tg(t)\mathit{dt}=f(x)$を満たす．

(1)　$f^{\prime }(x)$と$g(x)$を求めよ．

(2)　定積分$S={\displaystyle {\int }_0^1}|g(x)|\mathit{dx}$を$a$で表せ．

(3)　$a$が$a\geqq 0$の範囲を動くとき，(2)の$S$の最小値を求めよ．

【１】　$$の中に答を入れよ．

(1)　$-2\leqq x\leqq 2$のとき，関数$f(x)=-x^2+2|x-1|$の最大値は$\text{ア}\text{，}$最小値は$\text{イ}$である．

【１】　$$の中に答を入れよ．

(2)　$0$から$9$までの整数を$1$つずつ書いた$10$枚のカードがある．最初に$1$から$9$までを書いた$9$枚のカードから$1$枚引いて$100$の位の数$p$とする．次に残った$8$枚のカードと$0$のカードの合計$9$枚のカードから$1$枚引いて$10$の位の数$q$とする．最後に残った$8$枚のカードから$1$枚引いて$1$の位の数$r$とする．このとき，$3$桁の$10$進数$100p+10q+r$が$25$の倍数である確率は$\text{ウ}$である．また，$100p+10q+r$が偶数である確率は$\text{エ}$である．

【１】　$$の中に答を入れよ．

(3)　初項が$2$である数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が$S_n={\displaystyle \frac{n}{2}}{a}_{n+1}$を満たす．このとき，${\displaystyle \frac{a_{n+1}}{n+1}}$を$n$と$a_n$の式で表すと${\displaystyle \frac{a_{n+1}}{n+1}}=\text{オ}$であり，$\{a_n\}$の一般項を求めると$a_n=\text{カ}$である．

【１】　$$の中に答を入れよ．

(4)　関数$y=({\log }_{2}x)({\log }_{2}4x+{\log }_4{\displaystyle \frac{x}{2}})$を考える．${\log }_{2}x=t$とおき，$y$を$t$の式で表すと$y=\text{キ}$である．この関数$y$が最小値をとるとき，$x$の値は$x=\text{ク}$である．

【２】　関数$f(x)=(x-1)\sqrt{2-x}$$\text{（}x\leqq 2\text{）}$を考える．

(1)　$x<2$のとき，導関数$f^{\prime }(x)$を求めよ．

(2)　$f(x)$の増減を調べ，$f(x)$の最大値を求めよ．

(3)　曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

【３】　四角形$\mathrm{ABCD}$は$\mathrm{O}$を中心とする円に内接しており，$\mathrm{AB}=3\text{，}$$\mathrm{AD}=4\text{，}$$\mathrm{BD}=\sqrt{13}$である．ここで，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{d}$とおき，$\overrightarrow{\mathrm{AO}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AO}}=s\overrightarrow{b}+t\overrightarrow{d}$と表す．ただし，$s\text{，}$$t$は実数である．

(1)　内積$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{d}$の値を求めよ．また，$\cos \mathrm{\angle BAD}$と$\mathrm{\angle BAD}$の値を求めよ．

(2)　$s$と$t$の値を求めよ．

(3)　$2$つの対角線$\mathrm{AC}$と$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{E}$とする．$\mathrm{E}$が$\mathrm{BD}$を$t:s$に内分するとき，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{d}$で表せ．

(4)　(3)のとき，直線$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{DC}$の交点を$\mathrm{F}$とする．$\mathrm{AF}$の値を求めよ．