2020　南山大　理工A2月10日実施MathJax

【１】　$$の中に答を入れよ．

(1)　$x=\sqrt{8+4\sqrt{3}}\text{，}$$y=\sqrt{8-4\sqrt{3}}$とする．$x-y$を簡単にすると$x-y=\text{ア}$である．また，${\displaystyle \frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}}$を簡単にすると${\displaystyle \frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}}=\text{イ}$である．

【１】　$$の中に答を入れよ．

(2)　$0<x<\pi$とする．不等式

${\cos }^{2}2x>{\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x$

を解くと$\text{ウ}$である．方程式

${\cos }^2(x+{\displaystyle \frac{\pi }{4}})-{\cos }^{2}x+{\displaystyle \frac{1}{2}}=0$

を解くと$x=\text{エ}$である．

【１】　$$の中に答を入れよ．

(3)　$\alpha +\beta +\gamma =3$を満たす$3$つの異なる実数$\alpha \text{，}$$\beta \text{，}$$\gamma$があり$\alpha \text{，}$$\beta \text{，}$$\gamma$がこの順で等差数列となり，$\beta \text{，}$$\gamma \text{，}$$\alpha$がこの順で等比数列となる．このような$\alpha \text{，}$$\beta \text{，}$$\gamma$を求めると$(\alpha ,\beta ,\gamma )=\text{オ}$である．さらに，初項を$25\text{，}$公差を$\beta -\alpha$とする等差数列の初項から第$n$項までの和を$S_n$とすると，$S_n$が最大となる$n$の値は$n=\text{カ}$である．

【１】　$$の中に答を入れよ．

(4)　$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}$の$5$人について$2$つの変量$x\text{，}$$y$を測定した結果を右の表に示す．このとき，$x$と$y$の共分散は$\text{キ}$であり，相関係数は$\text{ク}$である．

【２】　$2$つの関数$f(x)\text{，}$$g(x)$を

$f(x)=2x{e}^{-x^2}\text{，}$$g(x)=2x^3{e}^{-x^2}$

とする．

(1)　関数$h(x)=-e^{-x^2}$の導関数を求めよ．

(2)　不定積分${\displaystyle \int }f(x)\mathit{dx}$と${\displaystyle \int }g(x)\mathit{dx}$を求めよ．

(3)　定積分

$I_1={\displaystyle {\int }_{-2}^2}\{f(x)-g(x)\}\mathit{dx}$

を求めよ．

(4)　定積分

$I_1={\displaystyle {\int }_{-2}^2}|f(x)-g(x)|\mathit{dx}$

を求めよ．

【３】　$\mathrm{O}$を原点とする座標空間に$2$点$\mathrm{A}$$(2,-1,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(0,3,2)$がある．

(1)　$\mathrm{▵OAB}$の$3$辺の長さを求め，内角$\mathrm{\angle A}\text{，}$$\mathrm{\angle B}\text{，}$$\mathrm{\angle O}$を小さい順に並べよ．

(2)　$\mathrm{O}$から直線$\mathrm{AB}$におろした垂線と直線$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{H}$とするとき，$\mathrm{H}$の座標を求めよ．

(3)　この座標空間に点$\mathrm{C}$$(s,t,{\displaystyle \frac{14}{3}})$をとる．(2)の$\mathrm{H}$について，$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$が定める平面と$\mathrm{CH}$が垂直になるような$s\text{，}$$t$の値を求めよ．

(4)　(3)の$\mathrm{C}$について，四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V$の値を求めよ．

【１】　$$の中に答を入れよ．

(5)　極限$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\sqrt{n+2}-\sqrt{n+3}}{\sqrt{3n+2}-\sqrt{3n+3}}}$の値は$\text{ケ}$である．

【１】　$$の中に答を入れよ．

(6)　不等式${\displaystyle \frac{4x}{x-1}}<x+3$を解くと，$\text{コ}$である．

【１】　$$の中に答を入れよ．

(7)　$1$個のさいころを投げる．$1$の目が出たら$\mathrm{A}$君が$\mathrm{B}$君からコインを$1$枚もらい，$1$以外の目が出たら$\mathrm{B}$君が$\mathrm{A}$君からコインを$1$枚もらう．最初に$\mathrm{A}$君がコインを$2$枚，$\mathrm{B}$君がコインを$1$枚持っており，どちらかのコインがなくなるまでさいころを投げ続ける．このとき，さいころを投げて$2$回目で$\mathrm{A}$君のコインがなくなり，さいころ投げを終了する確率は$\text{サ}$であり，$4$回目で$\mathrm{A}$君のコインがなくなり，終了する確率は$\text{シ}$である．

【１】　$$の中に答を入れよ．

(8)　条件「$y\leqq -2x+4$かつ$y\leqq 3$」の否定を述べると$\text{ス}$である．条件$\text{「}y\leqq -2x+4$かつ$y\leqq 3\text{」}$が成り立つとき，$x+y$の最大値は$\text{セ}$である．

【１】　$$の中に答を入れよ．

(9)　複素数平面上に点$\mathrm{O}(0)\text{，}$$\mathrm{A}(-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}i)\text{，}$$\mathrm{B}({\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}i)\text{，}$$\mathrm{C}(\gamma )$があり，$\gamma$の虚部は負である．$\mathrm{▵ABC}$が正三角形になるとき$\gamma =\text{ソ}$である．また，$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{D}(\delta )$とし，方程式$z^3={\delta }^3$の$z=\delta$以外の解を求めると$z=\text{タ}$となる．