2020　南山大　経営，外国語学部2月11日実施MathJax

【１】　$$の中に答を入れよ．

(1)　$i$は虚数単位とする．整式$P(x)=x^{2000}+2x+11$について，$P(-i)$の値は$\text{ア}$であり，$P(x)$を$x^4-1$で割ったときの余りは$\text{イ}$である．

【１】　$$の中に答を入れよ．

(2)　$p$を定数とし，$2$次方程式$x^2+(p-59)x+p=0$の$2$つの解を$\alpha \text{，}$$\beta$とする．$(\alpha +1)(\beta +1)$の値は$\text{ウ}$である．この方程式の$2$つの解がともに素数となるような$p$の値は$p=\text{エ}$である．ただし，素数とは，$2$以上の自然数で，$1$とそれ自身以外に正の約数をもたない数である．

【１】　$$の中に答を入れよ．

(3)　$\mathrm{AB}:\mathrm{BC}:\mathrm{CA}=3:4:5$である三角形$\mathrm{ABC}$がある．辺$\mathrm{BC}$上に$\mathrm{\angle CAD}={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{\angle CAB}$となるように点$\mathrm{D}$を，直線$\mathrm{BC}$上に$\mathrm{\angle CAE}={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{\angle CAB}$となるように$\mathrm{D}$とは異なる点$\mathrm{E}$をそれぞれとる．このとき，三角形$\mathrm{ADC}$の面積と三角形$\mathrm{ABD}$の面積をそれぞれ$S_1\text{，}$$S_2$とすると${\displaystyle \frac{S_2}{S_1}}=\text{オ}$である．また，${\displaystyle \frac{\mathrm{BE}}{\mathrm{AE}}}=\text{カ}$である．

【１】　$$の中に答を入れよ．

(4)　$\alpha$を実数とし，$m={\displaystyle \frac{4^{\alpha }+2^{\alpha +2}+28}{2^{\alpha }-1}}\text{，}$$\beta =2^{\alpha }+1$とする．$m$を$\beta$で表すと，$m={\displaystyle \frac{{\beta }^2+2\beta +\text{キ}}{\beta }}$（ただし，$\text{キ}$は定数）である．このとき，${\beta }^2+(2-m)\beta +\text{キ}=0$より，$m$のとりうる値の範囲は$\text{ク}$である．

【１】　$$の中に答を入れよ．

(5)　放物線$C\text{：}y=x^2$と直線$l\text{：}y=2x+3$の異なる$2$つの交点を$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$とする．また，線分$\mathrm{PQ}$の中点から$x$軸へ下ろした垂線と$C$の交点を$\mathrm{R}$とし，三角形$\mathrm{PQR}$の面積を$S$とする．このとき$S$の値は$S=\text{ケ}$である．また，三角形$\mathrm{PQT}$の面積が${\displaystyle \frac{S}{2}}$となるように$C$上に点$\mathrm{T}$をとるとき，$\mathrm{T}$の$x$座標をすべて求めれば$x=\text{コ}$である．

【２】　$k$を実数として，$3$次関数$f(x)=x^3-kx+2$は，$x=\alpha$で極大値$f(\alpha )$と，$x=\beta$で極小値$f(\beta )$をとるとする．

(1)　$k$のとりうる値の範囲を求めよ．

(2)　$f(\alpha )-f(\beta )={\displaystyle \frac{4}{3}}{k}^2$であるとき，$k$の値を求めよ．

(3)　曲線$C\text{：}y=f(x)$上の点$(\beta ,f(\beta ))$における接線が$x$軸と一致するとき，$k$の値を求めよ．

(4)　(3)のとき，$C$と$x$軸で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

【１】　$$の中に答を入れよ．

(3)　$\tan {\displaystyle \frac{\pi }{12}}$の値は$\text{オ}$である．また，$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のとき，$x$の関数

$f(x)=(\sin x+\cos x)\tan (x-{\displaystyle \frac{\pi }{4}})$$+\cos x$$+{\displaystyle \frac{1}{2}}\cos 2x$

が最大値をとるのは$x=\text{力}$のときである．

【１】　$$の中に答を入れよ．

(4)　$\mathrm{NANZANUNIV}$の$10$文字すべてを横一列に並べるとき，並べ方は$\text{キ}$通りである．このうち，$\mathrm{N}$を$2$文字以上連続して並べない並べ方は$\text{ク}$通りである．

【１】　$$の中に答を入れよ．

(5)　$n$は自然数で$n\geqq 3$とする．${\displaystyle \frac{1}{4}}{\displaystyle \sum _{k=1}^n}\{k^2{(k+1)}^2-k^2{(k-1)}^2\}$を$n$を用いて表すと$\text{ケ}$となる．$1$から$n$までの$n$個の自然数から異なる$3$つの数を取り出して積を作り，その値を$1$枚のカードに書きこむ．$3$つの数の選び方は${}_{n}C_3$通りあるため，もれなく選んで書きこめば，${}_{n}C_3$枚のカードができる．このようにして得られる，${}_{n}C_3$枚のカードに書かれている数の総和を$S$とするとき，$S$を$n$を用いて表すととなる．

【３】　座標空間において，原点$\mathrm{O}$を通り$\overrightarrow{a_1}=(1,1,1)$に平行な直線を$l_1\text{，}$点$\mathrm{A}$$(1,0,0)$を通り$\overrightarrow{a_2}=(-1,0,1)$に平行な直線を$l_2\text{，}$点$\mathrm{B}$$(0,1,0)$を通り$\overrightarrow{a_3}=(0,0,1)$に平行な直線を$l_3$とする．

(1)　$s$を実数とし，$l_2$上の任意の点$\mathrm{C}$の座標を$\mathrm{C}$$(1-s,0,s)$とするとき，$\left|\overrightarrow{\mathrm{BC}}\right|$の最小値を求めよ．

(2)　$l_1$上の点$\mathrm{D}$と$l_2$上の点$\mathrm{E}$に対して，$\left|\overrightarrow{\mathrm{DE}}\right|$を最小にする$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}$の座標をそれぞれ求めよ．

(3)　$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}$の座標は(2)で求めたものであるとし，$l_1$上の点$\mathrm{F}$と$l_3$上の点$\mathrm{G}$は$\left|\overrightarrow{\mathrm{FG}}\right|$を最小にするとする．このとき$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{DE}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{FG}}$のなす角$\theta$を求めよ．ただし，$0\leqq \theta \leqq \pi$である．

(4)　$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}$の座標は(2)で求めたものであるとする．$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}$を通る直線と$xy$平面の交点を$\mathrm{P}$とし，$\mathrm{E}$を通り$xy$平面に垂直な直線と$xy$平面の交点を$\mathrm{Q}$とする．三角形$\mathrm{EPQ}$において$\tan \mathrm{\angle EPQ}$の値を求めよ．