2020　南山大　人文学部2月10日実施MathJax

【１】　$$の中に答を入れよ．

(1)　$x={\displaystyle \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}}\text{．}$$y={\displaystyle \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}}$のとき，$x+y$を簡単にすると$x+y=\text{ア}$であり，$\sqrt{x}+\sqrt{y}$を簡単にすると$\sqrt{x}+\sqrt{y}=\text{イ}$である．

【１】　$$の中に答を入れよ．

(2)　$\sin 15\mathrm{°}$の値を求めると$\sin 15\mathrm{°}=\text{ウ}$であり，$\cos 105\mathrm{°}-\cos 15\mathrm{°}$の値を求めると$\cos 105\mathrm{°}-\cos 15\mathrm{°}=\text{エ}$である．

【１】　$$の中に答を入れよ．

(3)　不等式$x^2-5x-24>0$を解くと$\text{オ}$である．また，連立不等式

$\{\begin{array}{l}{x}^2-5x-24>0\\ (x+2)(x-a^2+2a)<0\end{array}$

を満たす実数$x$が存在するような定数$a$の値の範囲を求めると$\text{カ}$である．

【１】　$$の中に答を入れよ．

(4)　$1$でない正の実数$a\text{，}$$b\text{，}$$k$と$0$でない実数$x\text{，}$$y$が$a^x=b^y=k\text{，}$${\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{y}}=2$を満たしている．$ab$を$k$で表すと$ab=\text{キ}$である．さらに，${\displaystyle \frac{1}{x}}-{\displaystyle \frac{1}{y}}=1$が成り立ち$k=4$であるとき，$a\text{，}$$b$の値を求めると$(a,b)=\text{ク}$である．

【２】　関数$f(x)=x^4+2x^3$と曲線$C\text{：}y=f(x)$を考える．

(1)　$f(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．

(2)　$C$の接線で点$(1,3)$を通るものをすべて求めよ．

(3)　(2)の接線のうち，$C$と$2$つの共有点をもつものについて，その接線と$C$で囲まれる部分の面積を求めよ．