2020　南山大　法，国際教養2月12日実施MathJax

【１】　$$の中に答を入れよ．

(1)　$f(x)=x^3-5x^2+9x-5$とする．$3$次方程式$f(x)=0$の$3$つの解を$\alpha \text{，}$$\beta \text{，}$$\gamma$とするとき，${\alpha }^3+{\beta }^3+{\gamma }^3=\text{ア}$であり，$(3-\alpha )(3-\beta )(3-\gamma )=\text{イ}$である．

【１】　$$の中に答を入れよ．

(2)　点$(a,0)$を通る傾き$3$の直線が，円$x^2+y^2=10$と異なる$2$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$で交わるとする．このとき，$a$のとりうる値の範囲は$\text{ウ}$であり，$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$の中点の$y$座標を$t$とするとき，$t$のとりうる値の範囲は$\text{エ}$である．

【１】　$$の中に答を入れよ．

(3)　$a$を実数とし，$x$の方程式$8^x-9\cdot 2^x+a=0$を考える．$a=0$のとき，方程式の解は$x=\text{オ}$である．また，方程式が異なる$2$つの解をもつような$a$の値の範囲は$\text{カ}$である．

【１】　$$の中に答を入れよ．

(4)　$p$と$q$を実数とし，放物線$C\text{：}y=x^2+px+q$を考える．$0$でない実数$k$について，$C$を$x$軸方向に$k\text{，}$$y$軸方向に$k$だけ平行移動した放物線が$y=x^2+qx+p$となるとき，$p$と$q$を$k$で表すと$(p,g)=\text{キ}$である．$p\text{，}$$q$がこのように表されるとき，$k$の値に関係なく$C$が通る点$(a,b)$を求めると$(a,b)=\text{ク}$である．

【２】　座標平面に放物線$P\text{：}y={\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^2$と，点$(0,-1)$を中心とする半径$1$の円$C$を考える．正の数$a$について，$P$上の点$(a,{\displaystyle \frac{1}{4}}{a}^2)$を通る$P$の接線を$l$とする．

(1)　接線$l$の方程式を求めよ．

(2)　$P$と$l$と$y$軸とで囲まれる部分の面積$S$を求めよ．

(3)　$l$が$C$と接するように，$a$の値を定めよ．

(4)　(3)のとき，$P$と$l$と$x$軸とで囲まれる部分の面積$T$を求めよ．