2020　南山大　外・総政2月13日実施MathJax

【１】　$$の中に答を入れよ．

(1)　$\mathrm{\angle A}=60\mathrm{°}\text{，}$$\mathrm{\angle B}=90\mathrm{°}\text{，}$$\mathrm{AB}=1$の三角形$\mathrm{ABC}$がある．辺$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{CA}$上にそれぞれ頂点と異なる点$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}$を$2\mathrm{AD}=\mathrm{CE}$となるようにとる．四角形$\mathrm{DBCE}$の面積の最小値は$\text{ア}$であり，そのときの$\mathrm{AD}$の長さは$\text{イ}$である．

【１】　$$の中に答を入れよ．

(2)　関数$f(x)=-9^x-9^{-x}$$+3^{1+x}+3^{1-x}+2$について，$3^x+3^{-x}=t$とおいて$f(x)$を$t$の式で表すと，$f(x)=\text{ウ}$と書ける．また，$f(x)$の最大値は$\text{エ}$である．

【１】　$$の中に答を入れよ．

(3)　円$x^2+y^2=16$上を動く点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{A}$$(4,2)$を結ぶ線分$\mathrm{AP}$の中点を点$\mathrm{Q}$とするとき，$\mathrm{Q}$の軌跡の方程式は$\text{オ}$である．また，$\mathrm{Q}$の軌跡と直線$x-2y+2=0$の交点の$x$座標は$\text{カ}$である．

【１】　$$の中に答を入れよ．

(4)　$2$次方程式$16x^2-6x+a=0$の$2$つの解が$x=\cos 2\theta \text{，}$${\displaystyle \frac{1}{8}}+{\sin }^2{\displaystyle \frac{\theta }{2}}$のとき$(\text{ただし，}0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})\text{，}$$\cos \theta =\text{キ}$であり，定数$a$の値は$\text{ク}$である．

【１】　$$の中に答を入れよ．

(5)　$a$を正の実数とする$2$次方程式$2x^2-2ax+a+4=0$は，異なる$2$つの実数解$\alpha \text{，}$$\beta$をもつとする．$\alpha \text{，}$$\beta$がともに$1$より大きいとき，$a$のとりうる値の範囲は$\text{ケ}$である．また，$4<|\alpha -\beta |<2\sqrt{10}$のとき，$a$のとりうる値の範囲は$\text{コ}$である．

【２】　$k$を定数とし，関数$f(x)=x^2-kx-4|x-k|$を考える．ただし，$0<k<4$である．

(1)　$f(x)=0$を満たす$x$をすべて求めよ．

(2)　${\displaystyle {\int }_{-4}^k}f(x)\mathit{dx}=-36$のとき，$k$の値を求めよ．

(3)　(2)のときの$y=f(x)$のグラフを$C$とし，$C$と異なる$2$点で接する直線を$l$とする．$l$の方程式を求めよ．

(4)　$C$と$l$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．