2020　同志社大学　理系学部全学部日程2月4日実施MathJax

2020-14861-0101

2020　同志社大学　文化情報学部理系，理工学部，生命医科学部理系，心理学部理系，スポーツ健康科学部理系

全学部日程2月4日実施

易□　並□　難□

(1)　 $n$ は $3$ 以上の自然数とし，さいころを $n$ 回続けて投げる試行を考える． $n$ 回目に $3$ の目が出て， $3$ の目が出た回数がちょうど $3$ 回である確率は $ア$ である．次に， $n$ 回目までに出た $n$ 個の目の積が偶数である確率は $イ$ であり， $4$ の倍数である確率は $ウ$ である．また， $n$ 回目までに出た目の最大値が $4$ である確率は $エ$ である．最後に， $n$ 回目までに出た目の最大値と最小値の差が $3$ となる確率は $オ$ である．

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易□　並□　難□

【１】　次のに適する数または式を，解答用紙の同じ記号のついたの中に記入せよ．

(2)　 $i$ を虚数単位とし， $α = \frac{2 \sqrt{2}}{3 - \sqrt{3} i}$ とおく． $α$ の偏角 $θ$ を $0 ≦ θ < 2 π$ の範囲で求めると， $θ = カ$ である．この $α$ を用いて，複素数 $z_{n}$ を $z_{1} = \sqrt{2} + (2 \sqrt{3} - \sqrt{6}) i ，$ $z_{n + 1} = α z_{n} + z_{1}$ $（ n = 1 ，$ $2 ，$ $3 ，$ $\dots ）$ により定める．この $z_{n + 1}$ と $z_{n}$ の間の関係式を $z_{n + 1} - γ = α (z_{n} - γ)$ と変形する．ここで $γ = \frac{z_{1}}{1 - α}$ であり， $γ$ の虚部の値は $キ$ である．また，これを用いて $z_{n}$ を $n$ の式で表すと $z_{n} = {Tα}^{n - 1} (z_{1} - γ) + γ$ となる．次に，複素数平面上の点 $C (γ) ，$ $P_{n} (z_{n}) ，$ $P_{n + 1} (z_{n + 1})$ から定まる三角形 $C P_{n} P_{n + 1}$ の面積を $S_{n}$ とする． $S_{1} = ク$ であり， $S_{n}$ を $n$ を用いて表すと $S_{n} = ケ$ である．さらに， $\sum_{k = 1}^{\infty} (k + 1) S_{k}$ の値は $コ$ である．

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【２】　 $x, y, z$ 空間に $4$ 点 $A$ $(0, 0, 1) ，$ $B$ $(1, 0, 0) ，$ $C$ $(0, 2, 0) ，$ $D$ $(2, 2, 0)$ をとる．また，点 $P$ は線分 $BC$ 上を動き， $BP : PC = t : (1 - t)$ $（ 0 < t < 1 ）$ とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　点 $P$ の座標を $t$ を用いて表せ．

(2)　点 $A$ から線分 $BC$ に下ろした垂線を $AR$ とする．点 $R$ の座標を求めよ．また，線分 $AR$ の長さを求めよ．

(3)　点 $E$ $(p, q, 0)$ は $x, y$ 平面上にあり， $q < 0$ とする．さらに，直線 $ER$ と直線 $BC$ は垂直に交わり，線分 $ER$ と線分 $AR$ は長さが等しいとする．このとき，点 $E$ の座標を求めよ．

(4)　線分 $AP$ と線分 $PD$ の長さの和の最小値を求めよ．また，そのときの点 $P$ の座標を求めよ．

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【３】　数列 ${a_{n}}$ と，その初項から第 $n$ 項までの和 $S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} a_{k}$ $（ n = 1 ，$ $2 ，$ $3 ，$ $\dots ）$ は，次の条件を満たしている．

$a_{1} = 2 ，$ $3 a_{n + 1} = S_{n} (1 - 2 S_{n + 1}) + 1$ $（ n = 1 ， 2 ， 3 ， \dots ）$

このとき，次の問いに答えよ．

(1)　 $a_{2} ，$ $S_{2}$ の値を求めよ．

(2)　 $S_{n + 1}$ は，ある既約な分数式 $f (x)$ を用いて $S_{n + 1} = f (S_{n})$ $（ n = 1 ，$ $2 ，$ $3 ，$ $\dots ）$ と表される．このとき， $f (x)$ を求めよ．

(3)　定数 $r ，$ $β$ は $r \neq 0 ，$ $r \neq 1 ，$ $β \neq 1$ とする．(2)で求めた $f (x)$ に対して，分数式 $g (x) = \frac{x + 1}{β x + 1}$ は条件 $f (g (x)) = g (r x)$ を満たす．このとき， $r ，$ $β$ の値を求めよ．

(4)　(3)で求めた $g (x)$ に対して，数列 ${T_{n}}$ は条件 $g (T_{n}) = S_{n}$ $（ n = 1 ，$ $2 ，$ $3 ，$ $\dots ）$ を満たす．このとき， ${T_{n}}$ の一般項を求めよ．

(5)極限値 $\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n}}{T_{n}}$ を求めよ．

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【４】　 $c$ を実数として， $f (x) = \log x$ $（ x > 0 ），$ $g (x) = x^{2} + c$ とおく．また，曲線 $y = f (x)$ 上の点 $(p, f (p))$ $（ p > 0 ）$ における接線を $l_{p}$ とする．このとき，次の問いに答えよ．ただし，必要ならば $\lim_{t \to + 0} t {(\log t)}^{2} = 0$ であることを証明なしに用いてよい．

(1)　関数 $y = \log x + \frac{1}{4 x^{2}}$ $（ x > 0 ）$ の増減を調べ，その極値を求めよ．

(2)　接線 $l_{p}$ の方程式を求めよ．

(3)　 $c = c_{0}$ のとき， $l_{p}$ が曲線 $y = g (x)$ に接するような $p$ がただ $1$ つ存在するという．このような $c_{0}$ の値を求めよ．

(4)　 $c > c_{0}$ のとき， $l_{p}$ が曲線 $y = g (x)$ に接するような $p$ が $2$ つ存在する．その $2$ つの $p$ の値を $p_{1} ，$ $p_{2}$ $（ 0 < p_{1} < p_{2} ）$ とする． $p = p_{1}$ に対する接線 $l_{p_{1}}$ と曲線 $y = f (x) ，$ および直線 $x = a$ $（ 0 < a < p_{1} ）$ で囲まれた部分が $x$ 軸の周りに $1$ 回転してできる立体の体積を $V_{1} (a)$ とするとき， $α = \lim_{a \to + 0} V_{1} (a)$ を $p_{1}$ を用いて表せ．

(5)　 $p = p_{2}$ に対する接線 $l_{p_{2}}$ と曲線 $y = f (x) ，$ および $y$ 軸と $y = - b$ $（ b > 0 ）$ で囲まれた部分が $y$ 軸の周りに $1$ 回転してできる立体の体積を $V_{2} (b)$ とし， $β = \lim_{b \to \infty} V_{2} (b)$ とおく．この $β$ と(4)の $α$ の比の極限値 $\lim_{c \to c_{0} + 0} \frac{α}{β}$ を求めよ．

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