2020　同志社大　文系学部2月5日実施MathJax

【１】　次の$$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$$の中に記入せよ．

(1)　$a\text{，}$$b$を定数としたときに，$x$の整式$f(x)$が

$f(x+1)-2f(x)+f(x-1)=6x-2\text{，}$$f(0)=a\text{，}$$f(1)=b$

を満たすものとする．このとき，$f(x)$の次数は$\text{ア}$である．$F(x)=f(x+1)-f(x)$とするとき，$F(x)$は$x\text{，}$$a\text{，}$$b$を用いて$\text{イ}$と表される．$f(x)$は$x\text{，}$$a\text{，}$$b$を用いて$\text{ウ}$と表される．関数$y=f(x)$が$x=2$で極小値$f(2)=-24$をとるとき，$a$は$\text{エ}\text{，}$$b$は$\text{オ}$である．

【１】　次の$$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$$の中に記入せよ．

(2)　当たりくじ$5$本を含む$10$本のくじがある．この中から$\mathrm{A}$君，$\mathrm{B}$君を含む$10$人が順にくじを$1$本ずつ引いていく．ただし，引いたくじはもとに戻さない．$2$本目の当たりくじを引く確率が最も大きい人は$\text{カ}$番目にくじを引く人，$5$本目の当たりくじを引く確率が最も大きい人は$\text{キ}$番目にくじを引く人である．

　$\mathrm{A}$君は$3$番目，$\mathrm{B}$君は$7$番目にくじを引くことになった．$\mathrm{A}$君が当たりくじを引く確率は$\text{ク}$である．$\mathrm{B}$君が$3$本目の当たりくじを引く確率は$\text{ケ}$である．また，$\mathrm{A}$君が$2$本目の当たりくじを引き，かつ$\mathrm{B}$君が$4$本目の当たりくじを引く確率は$\text{コ}$である．

【２】　次の問いに答えよ．

(1)　$72$の正の約数の個数と総和をそれぞれ求めよ．

(2)　$p\text{，}$$q$を素数とし，$p<q$であるとする．また，$a\text{，}$$b$を正の整数とし，$n$を

$n=p^a{q}^b$

で定める．このとき，$n$の正の約数の個数と総和を$a\text{，}$$b\text{，}$$p\text{，}$$q$のうち必要なものを用いて表せ．

(3)　$p\text{，}$$q\text{，}$$r$を素数とし，$p<q<r$であるとする．また，$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を正の整数とし，$m$を

$m=p^a{q}^b{r}^c$

で定める．このとき，$m$の正の約数の個数が奇数となるための必要十分条件を$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を用いて表せ．

(4)　正の約数の個数が奇数となる正の整数はどのような整数か答えよ．

(5)　$1$以上$2020$以下の整数のうち，正の約数の個数が奇数となる整数の総和を求めよ．

【３】　関数$f(x)=x^2-{\displaystyle \frac{1}{4}}$とする．$0<\theta <2\pi$とし，点$\mathrm{P}$$(\cos \theta ,\sin \theta )$から放物線$C\text{：}y=f(x)$に接線を引くことを考える．次の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{P}$から放物線$C$に異なる$2$本の接線が引けるような$\theta$の値の範囲を求めよ．

(2)　$\theta$の値が(1)で求めた範囲にあるとき，点$\mathrm{P}$から放物線$C$に引いた$2$本の接線と放物線$C$との接点を$\mathrm{Q}$$(q,f(q))\text{，}$$\mathrm{R}$$(r,f(r))$$\text{（}a<r\text{）}$とする．線分$\mathrm{PQ}\text{，}$$\mathrm{PR}$と放物線$C$で囲まれた部分の面積を$S(\theta )$とおくとき，$S(\theta )$を$\theta$で表せ．

(3)　$S(\theta )$の最大値と，そのときの$\theta$の値を求めよ．