2020　同志社大　法・グローバルコミュニケーション学部2月8日実施MathJax

【１】　次の$$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$$の中に記入せよ．

(1)　$a_1=0\text{，}$$a_2=6\text{，}$$a_{n+2}-8a_{n+1}+7a_n=0$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$によって定められる数列$\{a_n\}$がある．$a_5=\text{ア}$であり，$a_n$の一般項は$\text{イ}$であり，$a_n$は$0$以上の整数である．$a_{145}$は$\text{ウ}$桁の整数であり，最高位の数は$\text{エ}\text{，}$一の位の数は$\text{オ}$である．なお，${\log }_{10}2=0.3010\text{，}$${\log }_{10}3=0.4771\text{，}$${\log }_{10}7=0.8451$である．

【１】　次の$$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$$の中に記入せよ．

(2)　$t$を正の実数とし，関数$f(x)=x^2-x-(1+t)\left|x\right|$について考える．曲線$C\text{：}y=f(x)$上の点$\mathrm{P}$$(p,f(p))$$\text{（}p<0\text{）}$における接線$L$が点$\mathrm{Q}$$(q,f(q))$$\text{（}q>0\text{）}$においても曲線$C$に接している．$p\text{，}$$q$を$t$を用いて表すと$p=\text{カ}\text{，}$$q=\text{キ}$である．また，接線$L$の方程式を$x\text{，}$$y\text{，}$$t$を用いて表すと$\text{ク}$である．このとき，線分$\mathrm{PQ}$の長さ$l$は$t$を用いて表すと$\text{ケ}$であり，線分$\mathrm{PQ}$と曲線$C$で囲まれた部分の面積を$S$とすると，${\displaystyle \frac{S}{l^3}}=\text{コ}$である．

【２】　原点を$\mathrm{O}$とする座標平面において，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円を$C$とし，円$C$上に$4$点${\mathrm{A}}_1$$(1,0)\text{，}$${\mathrm{A}}_2$$(0,1)\text{，}$${\mathrm{A}}_3$$(-1,0)\text{，}$${\mathrm{A}}_4$$(0,-1)$をとる．この$4$点を頂点とする正方形を$S_1$とする．次に，点${\mathrm{A}}_j$$\text{(}j=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$4\text{）}$を原点$\mathrm{O}$を中心として$\theta$$(0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$だけ正の向きに回転して得られる円$C$上の点を${\mathrm{B}}_j$$\text{（}j=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$4\text{）}$とし，この$4$点を頂点とする正方形を$S_2$とおく．$2$つの正方形$S_1$と$S_2$との共通部分の面積を$f(\theta )$とする．線分${\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2$と線分${\mathrm{B}}_1{\mathrm{B}}_2$との交点を$\mathrm{P}$とし，線分${\mathrm{A}}_2{\mathrm{A}}_3$と線分${\mathrm{B}}_1{\mathrm{B}}_2$との交点を$\mathrm{Q}$とする．次の問いに答えよ．

【３】　$k$を$0$以上の整数とする．$x+y+z=k$を満たす$0$以上の整数の組$(x,y,z)$全体のつくる集合を$D_k\text{，}$また，$D_k$に含まれる整数の組の個数を$d_k$とする．$D_0$は$(0,0,0)$のみからなり，$d_0=1$であり，$D_1$は$(1,0,0)\text{，}$$(0,1,0)\text{，}$$(0,0,1)$からなり，$d_1=3$である．次の問いに答えよ．