2020　同志社大　文化情報学部2月27日実施MathJax

【１】　次の$$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$$の中に記入せよ．

(1)　$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$を定義域とする関数$f(\theta )={\log }_{\sin \theta }(\cos 2\theta )$を考える．$\theta$が$f(\theta )>2$を満たすときの$\sin \theta$の値の範囲は$\text{ア}<\sin \theta <\text{イ}$であり，$\theta$が$f(\theta )=3$を満たすときの$\sin \theta$の値は$\text{ウ}$である．

【１】　次の$$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$$の中に記入せよ．

(2)　$1$から$9$の番号がついた$9$個の異なる玉を$3$組に分ける．

1)　$2$個，$3$個，$4$個の$3$組に分ける分け方は$\text{エ}$通りである．また，どの組も玉の個数が$2$個以上になるように，$9$個の異なる玉を$3$組に分ける分け方は$\text{オ}$通りである．

2)　$3$組を$\mathrm{A}$組，$\mathrm{B}$組，$\mathrm{C}$組と区別し，番号が$1\text{，}$$2\text{，}$$3$の$3$個の玉が互いに異なる組に入るように分ける分け方は$\text{カ}$通りである．

【１】　次の$$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$$の中に記入せよ．

(3)　関数$f(x)=x^3$とし，実数$p\text{，}$$q$は$p+q\ne 0\text{，}$$pg\ne 0\text{，}$$p\ne q$であるとする．座標平面上の曲線$C\text{：}y=f(x)$上に$2$点$\mathrm{P}$$(p,f(p))\text{，}$$\mathrm{Q}$$(q,f(q))$をとり，点$\mathrm{P}$における曲線$C$の接線と点$\mathrm{Q}$における曲線$C$の接線の交点を$\mathrm{R}$とする．点$\mathrm{R}$の座標は$p\text{，}$$q$を用いて$(\text{キ},\text{ク})$と表される．

1)　$p>2$の範囲で$p+q=2$を満たしながら点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$が動くとき，点$\mathrm{R}$の軌跡は$y=\text{ケ}$$(x>{\displaystyle \frac{4}{3}})$となる．

2)　$p>g>0$のとき，曲線$C$と線分$\mathrm{PR}$および線分$\mathrm{QR}$で囲まれた部分の面積$S$は$p\text{，}$$q$を用いて$S={\displaystyle \frac{{(p-q)}^3}{12(p+q)}}(\text{コ})$と表される．

【２】　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を実数の定数とする．次の$4$次式$f(x)$と$2$次式$g(x)$を

$f(x)=x^4-2a{x}^3+4b{x}^2-2ax+1\text{，}$$g(x)=x^2-2ax+c$

とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a=4\text{，}$$b={\displaystyle \frac{9}{2}}$とする．関数$f(x)$の極大値を求めよ．

(2)　$2$次方程式$g(x)=0$が異なる$2$つの$2$以上の解を持つための条件を$a\text{，}$$c$を用いて表せ．

(3)　$x>0$とする．$t=x+{\displaystyle \frac{1}{x}}$のとりうる値の範囲を求めよ．また，${\displaystyle \frac{f(x)}{x^2}}$を$t$を用いて表せ．

(4)　$4$次方程式$f(x)=0$が，異なる$4$つの正の解を持つための条件を$a\text{，}$$b$を用いて表し，$ab$平面上に図示せよ．

【３】　実数$p$は$1<p<2$を満たすとする．$1$辺の長さが$1$の正三角形$\mathrm{OAB}$において，辺$\mathrm{OA}$を$p:2-p$に内分する点を$\mathrm{C}\text{，}$点$\mathrm{C}$を通り直線$\mathrm{OA}$に垂直な直線と直線$\mathrm{OB}$の交点を$\mathrm{D}\text{，}$直線$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{E}$とする．さらに，点$\mathrm{D}$を通り直線$\mathrm{AB}$に垂直な直線と点$\mathrm{E}$を通り直線$\mathrm{OB}$に垂直な直線の交点を$\mathrm{F}$とし，$\mathrm{▵OAB}$の重心を$\mathrm{G}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$として，次の問いに答えよ．

(1)　線分$\mathrm{OC}$と線分$\mathrm{OD}$の長さを$p$を用いてそれぞれ表せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OE}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$を$p\text{，}$$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を用いてそれぞれ表せ．

(3)　$3$点$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{F}\text{，}$$\mathrm{G}$は$1$つの直線上にあることを示せ．

(4)　四角形$\mathrm{BECG}$の面積$S(p)$を$p$を用いて表せ．

(5)　$1<p<2$において，(4)で求めた$S(p)$の最大値とそのときの$p$の値を求めよ．