2020　同志社大　文化情報学部2月27日実施MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　$x=1+\sqrt{2}i$のとき，$x^5-4x^4+7x^3-9x^2+6x+1$の値を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　等式

$f(x)=x^2+{\displaystyle {\int }_0^1}xf(t)\mathit{dt}+{\displaystyle {\int }_{-1}^0}f(t)\mathit{dt}$

を満たす関数$f(x)$を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(3)　$x+y\geqq {\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}$$x+y\leqq {\displaystyle \frac{3}{2}}\text{，}$$x-y\geqq -{\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}$$x-y\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$という条件の下で，$y-x^2+2x$の最大値を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(4)　自然数$n$が$n$回ずつ続いてできる数列$1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,\cdots$の第$2020$項を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(5)　さいころを$5$回投げるとき，$5$つの出た目のうちの最小値が$3\text{，}$最大値が$5$である確率を求めよ．

【２】　$x=\cos \theta$$\text{（}0\leqq \theta \leqq 2\pi \text{）}$とする．関数$f(\theta )=\cos 4\theta$について，次の問いに答えよ．

(1)　$f(\theta )$を$x$の多項式$g(x)$として表せ．

(2)　$-1\leqq x\leqq 1$において，関数$y=g(x)$のグラフの概形を描け．

(3)　$\cos {\displaystyle \frac{\pi }{8}}+\cos {\displaystyle \frac{3\pi }{8}}+\cos {\displaystyle \frac{5\pi }{8}}+\cos {\displaystyle \frac{7\pi }{8}}$の値を求めよ．

(4)　$\cos {\displaystyle \frac{\pi }{8}}\cos {\displaystyle \frac{3\pi }{8}}$と$\cos {\displaystyle \frac{\pi }{8}}\cos {\displaystyle \frac{3\pi }{8}}\cos {\displaystyle \frac{5\pi }{8}}\cos {\displaystyle \frac{7\pi }{8}}$の値を求めよ．

(5)　曲戦$v=g(x)$と$x$軸の正の部分で囲まれた図形の面積を$S$とするとき，$S$の値を求めよ．

【３】　原点を$\mathrm{O}$とする座標平面において，点$\mathrm{A}$$(-3,0)\text{，}$点$\mathrm{B}$$(3,0)\text{，}$点$\mathrm{C}$$(0,4)$を取り，$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$を通る円を$C_1\text{，}$$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{A}$を通る円を$C_2$とする．また，点$\mathrm{C}$を通る傾き$m$の直線を$L$とし，直線$L$と円$C_1$の交点で点$\mathrm{C}$と異なる点を$\mathrm{P}\text{，}$直線$L$と円$C_2$の交点で点$\mathrm{C}$と異なる点を$\mathrm{Q}$とする．ただし，点$\mathrm{P}$は第$1$象限にあるものとする．次の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$の座標を$m$を用いて表せ．

(2)　直線$\mathrm{AQ}$と直線$\mathrm{BP}$が平行であることを示せ．

(3)　四角形$\mathrm{ABPQ}$の面積$S(m)$を$m$を用いて表せ．

(4)　点$\mathrm{P}$が第$1$象限にある範囲で$m$が変わるとき，$S(m)$の最大値を求めよ．