2020　立命館大　理系学部Ａ方式2月2日実施MathJax

〔1〕　点$\mathrm{A}$の座標を$(a,0)\text{，}$点$\mathrm{B}$の座標を$(0,b)\text{，}$点$\mathrm{P}$の座標を$(x,y)$とするとき，$a\text{，}$$b$を$r\text{，}$$x\text{，}$$y$を用いて表すと，$a=\text{ア}\text{，}$$b=\text{イ}$となる．そして，曲線$C$の方程式は，次のように表される．

$\text{ウ}=1$

ただし，$\text{ウ}$には，$a$と$b$は入らないとする．

〔2〕　実数$s\text{，}$$t$を用いて方程式$y=sx+t$で表される直線を$l_1$とする．直線$l_1$が曲線$C$と共有点をもつとき，共有点の$x$座標は次の方程式の解である．

$(\text{エ})x^2+2r^{2}stx+(\text{オ})=0$

ただし，$\text{エ}$と$\text{オ}$は，$r\text{，}$$s\text{，}$$t$を用い，$x$と$y$は用いずに答えよ．

　直線$l_1$が曲線$C$の接線となるための必要十分条件は，$r\text{，}$$s\text{，}$$t$を用いて表すと

$\text{カ}=4$

である．

〔3〕　直線$l_2$と直線$l_3$が垂直で，点$\mathrm{Q}$$(p,q)$で交わるとする．

　まず，直線$l_2$が，$x$軸と$y$軸に平行ではない場合について考える．直線$l_2$の傾きを$u$とおくと，直線$l_2$上の方程式は$y=\text{キ}$と表される．直線$l_3$の方程式は$y=\text{ク}$と表される．

　直線$l_2$が曲線$C$の接線となるための必要十分条件は，

$(\text{ケ})u^2+2pgu+(\text{コ})=0$

である．ただし，$\text{ケ}$と$\text{コ}$は，$p\text{，}$$q\text{，}$$r$を用いて表す．一方，直線$l_3$が曲線$C$の接線となるための必要十分条件は，

$(\text{コ})u^2-2pqu+(\text{ケ})=0$

である．このとき，直線$l_2$と直線$l_3$の両方が曲線$C$の接線であるように点$\mathrm{Q}$が動くとき，点$\mathrm{Q}$の軌跡を表す方程式は，$r$を用いて次のように表される．

$p^2+q^2=\text{サ}$

　なお，直線$l_2$が，$x$軸あるいは$y$軸に平行な場合にも，この方程式は成り立っている．

$ax+by=dl\cdots$(1)

の整数解$x\text{，}$$y$を考える．

〔1〕　自然数$a^{\prime }\text{，}$$b^{\prime }$を用いて$a=a^{\prime }d\text{，}$$b=b^{\prime }d$と表すと，$a^{\prime }$と$b^{\prime }$の最大公約数は$\text{ア}$であり，式(1)は

$a^{\prime }x+b^{\prime }y=l$$\cdots$(2)

となる．特に$l=1$のときの$1$次不定方程式(2)の整数解の$1$つを$x_0\text{，}$$y_0$とすると，次のようになる．

$a^{\prime }{x}_0+b^{\prime }{y}_0=1$$\cdots$(3)

式(2)から式(3)の$l$倍を引くと

$a^{\prime }(x-l{x}_0)+b^{\prime }(y-l{y}_0)=0$$\cdots$(4)

となる．$a^{\prime }$と$b^{\prime }$の最大公約数が$\text{ア}$であり，$x-l{x}_0$と$y-l{y}_0$はともに整数であることから，$x-l{x}_0$は$\text{イ}$の倍数，$y-l{y}_0$は$\text{ウ}$の倍数となる．ここで，整数$m$を用いて

${\displaystyle \frac{x-l{x}_0}{\text{イ}}}={\displaystyle \frac{-(y-l{y}_0)}{\text{ウ}}}=m$$\cdots$(5)

とおくと，方程式(1)の整数解は

$x=\text{エ}\text{，}$$y=\text{オ}$

と表される．

〔2〕　$d=1$とする．整数解$(x,y)=(\text{エ},\text{オ})$のうち，実数$c$に対して不等式$y<-x^2+c$を満たすものを考える．

　$y=-x^2+c$で定まる放物線と，$1$次不定方程式(1)すなわち$ax+by=l$で定まる直線は，$c>{\displaystyle \frac{\text{カ}}{4b^2}}$のときに異なる$2$つの共有点をもち，その座標は

$({\displaystyle \frac{a\pm \text{キ}}{2b}},{\displaystyle \frac{2bl-a^2\mp a\text{キ}}{2b^2}})$（複号同順）

である．特に$x$座標に注目すれば，整数解$(x,y)=(\text{エ},\text{オ})$が$y<-x^2+c$を満たすためには，式(5)の$m$は不等式

$\text{ク}-{\displaystyle \frac{\text{キ}}{2b^2}}<m<\text{ク}+{\displaystyle \frac{\text{キ}}{2b^2}}$$\cdots$(6)

を満たす必要がある．したがって，$a=2\text{，}$$b=3\text{，}$$l=2$のとき，不等式(6)を満たす$m$の値がちょうど$2$個存在するために$c$がとりうる値の範囲は

$\text{ケ}<c\leqq \text{コ}$

であることがわかる．

$K(r)={\displaystyle {\int }_{-r}^r}{\displaystyle \frac{\mathit{dx}}{(1-x^2)\sqrt{1-2x^2}}}$

の極限$\underset{r\to \frac{1}{\sqrt{2}}-0}{\lim }K(r)$を以下の手順にしたがって求める．まず，準備として，次の〔1〕，〔2〕，〔3〕について考える．

〔1〕　区間$[0,1]$で関数$f(t)={\displaystyle \frac{2t}{1+t^2}}$を考える．$f^{\prime }(t)=\text{ア}\geqq 0$より，$f(t)$の値域は$0\leqq f(t)\leqq \text{イ}$である．また$\sqrt{1-{\{f(t)\}}^2}=\text{ウ}$である．

〔2〕　$\alpha$は$0<\alpha <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$で$\tan 6af;\alpha =\sqrt{2}+1$を満たしているとき

$\tan ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-\alpha )=\text{エ}$

である．ただし，$\text{エ}$は$\alpha$を用いずに答えよ．

〔3〕　定積分$I$と$J$をそれぞれ次のようにおく．

$I={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}{\displaystyle \frac{\mathit{d\theta }}{\sqrt{2}+\sin \theta }}\text{，}$$J={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}{\displaystyle \frac{\mathit{d\theta }}{\sqrt{2}-\sin \theta }}$

　まず，$I$を計算する．〔1〕で定義した$f(t)$を用いて$\sin \theta =f(t)$とおき，置換積分法を使うと，$I$は

$I={\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{\text{オ}}{{(t+\text{カ})}^2+{(\text{キ})}^2}}\mathit{dt}$

となる．ただし，$\text{キ}$は正の実数である．ここで$t+\text{カ}=\text{キ}\tan u$とおいて置換積分法を使って〔2〕の$\alpha$を用いて$I$を求めると$I=\text{ク}$となる．

　次に，$J$についても同様の方法で求めると，$J=\text{ケ}$となる．

〔4〕　〔1〕から〔3〕までの準備のもとで，極限$\underset{r\to \frac{1}{\sqrt{2}}-0}{\lim }K(r)$を求める．ここで，$x={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\sin \theta$とおいて$K(r)$に置換積分法を用いると，極限$\underset{r\to \frac{1}{\sqrt{2}}-0}{\lim }K(r)$は，$I$と$J$を用いて$\text{コ}$と表すことができる．したがって，極限$\underset{\mathrm{.r}\to \frac{1}{\sqrt{2}}-0}{\lim }K(r)$は，$\text{サ}$となる．

〔1〕　複素数平面上の点$z$を原点を中心に$\arg \alpha$だけ回転し，原点からの距離を$\left|\alpha \right|$倍し，$\beta$だけ平行移動した点は，$\text{ア}$と表される．

〔2〕　$z_0=i$とし，自然数$n$に対して，点$z_n$を以下のように定める．$z_n$は$z_{n-1}$を原点を中心に$\arg \alpha$だけ回転し，原点からの距離を$\left|\alpha \right|$倍し，$\beta$だけ平行移動した点とする．$a_n=|z_n-z_{n-1}|$とおき，数列$\{a_n\}$を考える．一般項$a_n$を$\alpha \text{，}$$\beta$および$n$で表すと，$a_n=\text{イ}$となる．したがって，$\left|\alpha \right|<1$のとき，

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{a}_n=\text{ウ}$

である．

〔3〕　点$z$を点$\delta$を中心に$\arg \gamma$だけ回転し，点$\delta$からの距離を$\left|\gamma \right|$倍した点は$\text{エ}$である．任意の複素数$z$について$\text{ア}=\text{エ}$が成り立つとき，$\gamma \text{，}$$\delta$をそれぞれ$\alpha \text{，}$$\beta$を用いて表すと，$\gamma =\text{オ}\text{，}$$\delta =\text{カ}$である．

〔4〕　実数$\theta$は$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$を満たすとする．また，$\alpha ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}(\cos \theta +i\sin \theta )$であり，$\text{カ}=1$が成り立つとする．複素数平面上で$1$が表す点を$\mathrm{B}$とし，〔2〕で定めた$z_n$が表す点を${\mathrm{P}}_n$とする．三角形${\mathrm{P}}_0\mathrm{B}{\mathrm{P}}_2$の面積は$\text{キ}$であり，三角形${\mathrm{P}}_0{\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2$の面積は$\text{ク}$となる．

　三角形${\mathrm{P}}_{n-1}{\mathrm{P}}_n{\mathrm{P}}_{n+1}$の面積$S_n$は$\text{ケ}$となり，

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{S}_{2n-1}=\text{コ}$

である．ただし，$\text{キ}\text{，}$$\text{ク}\text{，}$$\text{ケ}\text{，}$$\text{コ}$は，$z_0\text{，}$$z_1\text{．}$$z_2\text{，}$$z_{n-1}\text{，}$$z_n$を用いずに表せ．