2020　立命館大　文系学部Ａ方式2月3日実施MathJax

【１】

〔1〕　$-1$の$3$乗根は$-1\text{，}$$\text{ア}+\text{イ}i\text{，}$$\text{ア}-\text{イ}i$である．ただし，$i$は虚数単位，$\text{イ}$は正の値とする．$\omega =\text{ア}+\text{イ}i$とするとき，以下の式の値を求めよ．

(a)　${\omega }^{2030}=\text{ウ}$

(b)　${\displaystyle \frac{{\omega }^{17}}{{\omega }^{20}+1}}=\text{エ}$

(c)　${\displaystyle \sum _{k=1}^{118}}{\omega }^{k-1}=1+\omega +{\omega }^2+{\omega }^3+\cdots +{\omega }^{117}=\text{オ}$

【１】

〔2〕　平面上の円に$n$本の弦を次の条件で引く．

$\text{①}$　どの$2$本の弦も円の内部（円周上の点は含まない）で交わる．

$\text{②}$　どの$3$本の弦も$1$点で交わることはない．

　このとき，円の内部は$n$本の弦によって$A_n$個の部分に分割され，$A_4=\text{カ}\text{，}$$A_5=\text{キ}$となる．

　次に，$A_{n+1}$を$A_n$を用いて表わすと，関係式$A_{n+1}=A_n+\text{ク}$が成立する．したがって，$A_n$を$n$の式で表すと，$A_n=\text{ケ}$となる．また，$A_n$個の部分の中で多角形であるものは$\text{コ}$個ある．

【１】

〔3〕　中心が原点$\mathrm{O}$$(0,0)\text{，}$半径が$2$の円周上に$3$点$\mathrm{A}$$(2,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(-2,0)\text{，}$$\mathrm{P}$$(\sqrt{3},1)$がある．点$\mathrm{P}$を含む弧$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{Q}$をとり，$\mathrm{▵OPQ}$の面積を$S\text{，}$その最大値を$S_M$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(a)　$S_M$の値は$\text{サ}$であり，そのときの点$\mathrm{Q}$の座標は$(\text{シ},\text{ス})$である．

(b)　$\mathrm{▵OPQ}$の面積が$S={\displaystyle \frac{1}{2}}{S}_M$となるとき，$x$座標が最小となる点$\mathrm{Q}$の座標は$(\text{セ},\text{ソ})$である．

(c)　$\mathrm{▵OPQ}$の面積が$S={\displaystyle \frac{1}{3}}{S}_M$となるとき，$x$座標が最大となる点$\mathrm{Q}$の座標は$(\text{タ},\text{チ})$である．

【２】　企業$\mathrm{X}$と企業$\mathrm{Y}$は，ともに廃棄物を$8$トンずつ排出する予定であり，その削減が求められている．企業$\mathrm{X}$と企業$\mathrm{Y}$が廃棄物を削減する量（単位はトン）をそれぞれ$x$$\text{（}0<x\leqq 8\text{），}$$y$$\text{（}0<y\leqq 8\text{）}$で表すとき，その削減にかかる費用（単位は万円）は次の$f(x)\text{，}$$g(y)$で表される．

$f(x)=3x^2$

$g(y)=10y^3$

いま，政府は，企業$\mathrm{X}$と企業$\mathrm{Y}$の廃棄物の排出量を合計で$6$トン削減することが望ましいと考えている．その合計$6$トンの削減を実現するために，政府は以下の$2$種類の制度を考える．

〔1〕　まず，政府が各企業の廃棄物の削減量を決めて，その削減を命じる制度を考える．

(a)　企業$\mathrm{X}$と企業$\mathrm{Y}$に廃棄物をそれぞれ$3$トンずつ削減するように命じるとき，その削減にかかる費用は，企業$\mathrm{X}$と企業$\mathrm{Y}$の合計で$\text{ア}$万円となる．

(b)　企業$\mathrm{X}$と企業$\mathrm{Y}$を合わせて廃棄物を$6$トン削減し，かつ廃棄物の削減にかかる費用の合計を最も小さくするためには，政府は企業$\mathrm{X}$に$\text{イ}$トン，企業$\mathrm{Y}$に$\text{ウ}$トン削減するように命じればよい．このとき，廃棄物の削減にかかる費用は，企業$\mathrm{X}$と企業$\mathrm{Y}$の合計で$\text{エ}$万円となる．

〔2〕　次に，政府が各企業に金銭的な動機を与え，企業自身が廃棄物の削減量を決める制度を考える．なお以下では，企業$\mathrm{X}$と企業$\mathrm{Y}$はそれぞれ，負担する金額が最小になるように削減量を決めると仮定する．

(a)　政府が，廃棄物の排出$1$トン当たり$t$$\text{（}t>0\text{）}$万円の税金の支払いを企業に課す制度を考える．この制度の下で，企業$\mathrm{X}$が廃棄物の排出を$x$トン削減するとき，企業$\mathrm{X}$が負担する金額は，$(8-x)$トンの廃棄物の排出に対して支払う税金と，その削減にかかる費用$f(x)$との合計となる．このとき，企業$\mathrm{X}$が削減する廃棄物の量は，$t$を用いて表すと$\text{オ}$トンとなる．従って，企業$\mathrm{X}$が廃棄物を$\text{イ}$トン削減するように誘導するためには，政府は$t=\text{カ}$万円の税金を課せばよい．また，$t=\text{カ}$万円のとき，企業$\mathrm{Y}$も廃棄物を$\text{ウ}$トン削減することになり，企業$\mathrm{X}$と企業$\mathrm{Y}$が支払う税金の合計は$\text{キ}$万円となる．

(b)　政府が，廃棄物の削減$1$トン当たり$s$$\text{（}s>0\text{）}$万円の補助金を企業に与える制度を考える．この制度の下で，企業$\mathrm{X}$が廃棄物を$x$トン削減するとき，企業$\mathrm{X}$が負担する金額は，削減にかかる費用$f(x)$から補助金の額を差し引いた金額となる．このとき，企業$\mathrm{X}$が削減する廃棄物の量は，$s$を用いて表すと$\text{ク}$トンとなる．従って，企業$\mathrm{X}$が廃棄物を$\text{イ}$トン削減するように誘導するためには，政府は$s=\text{ケ}$万円の補助金を与えればよい．また，$s=\text{ケ}$万円のとき，企業$\mathrm{Y}$も廃棄物を$\text{ウ}$トン削減することになり，企業$\mathrm{X}$と企業$\mathrm{Y}$が受け取る補助金の合計は$\text{コ}$万円となる．

(c)　政府が，廃棄物の排出$1$トン当たり$T$万円の税金の支払いを企業に課し，同時に廃棄物の削減$1$トン当たり$S$万円の補助金を企業に与える制度を考える．(a) (b)と同様に考えれば，企業$\mathrm{X}$が廃棄物を$\text{イ}$トンだけ削減するように誘導するためには，$T$と$S$は$\text{サ}$の関係式を満たす必要がある．さらに，この制度のもとで，企業$\mathrm{X}$と企業$\mathrm{Y}$が支払う税金の合計と，受け取る補助金の合計が等しくなるように$T$と$S$を決めるとき，$T$は$\text{シ}$万円，$S$は$\text{ス}$万円となる．

【３】〔1〕　$1$枚のコインを$2$回続けて投げるとき，$2$回とも表が出る確率を求めよ．

〔2〕　$8$枚のコインを同時に投げるとき，$6$枚が表である確率を求めよ．

　次に，最初に$8$枚のコインを同時に投げ，裏が出たコインは取り除き，表の出たコインすべてをもう一度同時に投げて試行を終了する．ただし，最初に$8$枚すべて裏が出たときは，そこで試行を終了する．試行を終了したとき，表が出ているコインの数が$r$である確率を$P_r$とする．

〔3〕　$P_6$を求めよ．

〔4〕　$P_r$を求めよ．ただし，必要ならば，組合せの総数を表す${}_{n}C_r$の記号を用いて答えてよい．

〔5〕　〔4〕で求めた$P_r$の値が最大となるときの$r$の値を求めよ．