2020　立命館大　文系学部学部個別方式2月7日実施MathJax

【１】

〔1〕　$1^4+2^4+3^4+\cdots +n^4={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{k}^4$を求めることを考える．そのために恒等式${(k+1)}^5-k^5=\text{ア}$を用いる．ただし，$\text{ア}$は$k$の降べきの順で答えるものとする．

　この恒等式に，$k=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{，}$$n$を代入して辺々加えた式を整理すると，

$5{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{k}^4$$={(n+1)}^5-n-1$$-\text{イ}{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{k}^3$$-\text{ウ}{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{k}^2$$-\text{エ}{\displaystyle \sum _{k=1}^n}k$

となる．よって，

${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{k}^4={\displaystyle \frac{1}{30}}n(n+1)(\text{オ})(\text{カ})$

となる．ただし，$\text{オ}$は，$n$の$1$次式，$\text{カ}$は$n$の$2$次式で答えよ．

【１】

〔2〕　$\mathrm{▵OAB}$があり，辺$\mathrm{OA}$を$3:1$に外分する点を$\mathrm{C}\text{，}$辺$\mathrm{OB}$を$3:2$に内分する点を$\mathrm{D}$とする．

　ここで，線分$\mathrm{AB}$と線分$\mathrm{CD}$との交点を$\mathrm{E}$とするとき，

$\overrightarrow{\mathrm{OE}}-\text{キ}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\text{ク}\overrightarrow{\mathrm{OB}}$

となる．また，直線$\mathrm{OE}$と線分$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{F}$とするとき，

$\overrightarrow{\mathrm{OF}}=\text{ケ}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\text{コ}\overrightarrow{\mathrm{OB}}$

となり，$\mathrm{▵OAB}$の面積は，$\mathrm{▵CEF}$の面積の$\text{サ}$倍である．

　次に，$\mathrm{▵OCD}$の辺$\mathrm{CD}$の中点を$\mathrm{M}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OM}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{CD}}$が垂直であるとき，辺$\mathrm{OA}$の長さは，辺$\mathrm{OB}$の長さの$\text{シ}$倍である．さらに，線分$\mathrm{OM}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{N}$とし，$\left|\overrightarrow{\mathrm{ON}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{NC}}\right|$であるとき，$\mathrm{\angle AOB}$の大きさは，$\text{ス}\mathrm{°}$である．

【１】

〔3〕　次の問いに答えよ．答えは記号を用いず，数字で求めよ．

(a)　赤玉$5$個，白玉$4$個が入っている袋から，$3$個の玉を同時に取り出す．このとき，少なくとも$1$個は白玉が出る確率は$\text{セ}$である．

　次に赤玉$5$個，白玉$4$個，青玉$2$個が入っている袋から，$4$個の玉を同時に取り出す．このとき，以下の確率を求めよ．

(b)　少なくとも$1$個は青玉が出る確率は$\text{ソ}$である．

(c)　$3$色すべての色の玉が出る確率は$\text{タ}$である．

(d)　出た玉の色が$2$色である確率は$\text{チ}$である．

【２】　あるグループで，数学と英語についてそれぞれ$10$点満点のテストを行った．得点は$0$と$10$の間の整数値とする．

〔1〕　はじめに，$\mathrm{A}\text{〜}$$\mathrm{D}$の$4$名の生徒がテストを受けた．得点の分布は表に示すとおりである．

　数学の得点と英語の得点の相関係数は$\text{ア}$と求められる．

〔2〕　後日，もう$1$名の生徒$\mathrm{E}$が同じテストを受けた．$\mathrm{E}$の数学と英語の得点をそれぞれ$x\text{，}$$y$とする．$\mathrm{E}$を加えた$5$名の得点について，数学と英語の得点の分散はそれぞれ$x$と$y$を用いて$\text{イ}$と$\text{ウ}$と求められる．

　$5$名の生徒の数学の得点と英語の得点の相関係数は

$r={\displaystyle \frac{\text{エ}}{\sqrt{\text{オ}}\cdot \sqrt{\text{カ}}}}$$\cdots \text{①}$

となる．ただし，$\text{エ}$は$x$と$y$の両方を含む多項式，$\text{オ}$は$x$の多項式，$\text{カ}$は$y$の多項式とし，いずれも各項の係数は整数とする．

　$x$が$\mathrm{A}\text{〜}$$\mathrm{D}$の$4$名の生徒の数学の得点の平均値に等しく，$y$が$\mathrm{A}\text{〜}$$\mathrm{D}$の$4$名の生徒の英語の得点の平均値に等しいときは，式$\text{①}$の相関係数の値は$\text{キ}$となる．

　式$\text{①}$の相関係数$r$の値が$0$となる$x$と$y$の値の組は$\text{ク}$通りあり，そのうち$x+y$が最大となる$x$と$y$の組み合わせは$(\text{ケ},\text{コ})$あるいは$(\text{コ},\text{ケ})$である．ただし，$\text{ケ}>\text{コ}$とする．

　また，$x$と$y$がいずれも$\text{ケ}$と等しいとき，式$\text{①}$の相関係数$r$の値は$\text{サ}$となる．

【３】　$a$は正の定数とする．関数$f(x)=z^3+3a{x}^2-9a^{2}x+a$について，次の問いに答えよ．

〔1〕　$y=f(x)$の極値を求めよ．

〔2〕　$y=f(x)$の$0\leqq x\leqq 4$における最小値を$m(a)$とするとき，$a$の値で場合を分けて，$m(a)$を$a$の式で表せ．

〔3〕　$y=f(x)$の$0\leqq x\leqq 4$における最大値を$M(a)$とするとき，$a$の値で場合を分けて，$M(a)$を$a$の式で表せ．

〔4〕　$y=f(x)$の表す曲線が$x$軸に接するとき，この曲線と$x$軸で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．