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2020 立命館大学 文系学部A方式

2月4日実施

易□ 並□ 難□

【1】

〔1〕 関数

y=-|x 2+4x| +2x+8

のグラフと x 軸との共有点の x 座標は, である.

 また,関数 のグラフと直線 y=m (x+ 74) 4 つの共有点をもつような定数 m の範囲は, <m< または <m < である.ただし, < とする.

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2月4日実施

易□ 並□ 難□

【1】

〔2〕 座標空間内の 2 A (0,0, 6) B ( 233 sin θ, 43cos θ 23, 43 cosθ +103 ) を考える.ただし, 0θ<2 π とする.

  2 A B を通る直線が xy 平面と交わる点の座標を (p, q,0) とすると,

p= 2

q= 2

となる.これから p2 +q2= となる.

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2月4日実施

易□ 並□ 難□

【1】

〔3〕 数列 {a n}

a1= 23 a2= 14 a3= 215 a4= 112 a5= 235 a6= 124

と与えられている.このとき,

(a)  a7= である.

(b)  a8= である.

(c)  k 番目の項 ak の値は k を用いて と表せる.

 次に, Sn= k=1 nak とするとき,

(d)  S8 の値は である.

(e)  Sn の値は n を用いて と表せる.

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2月4日実施

易□ 並□ 難□

【2】 ある製品の製造と販売を行う A 社は,製品を 1 単位あたり p p> 0 の価格で販売する.この製品を x 単位 x 0 製造するのにかかる費用 f( x) は,以下の式により計算される.

f(x )=1 3x 3-4x 2+18x

  A 社の売上高は, g( x)=p x で表され,売上高と費用との差で表される A 社の利潤 h( x) は, h(x )=g( x)-f (x) となる.

 ここで A 社は,利潤 h( x) が最大となるように製造量 x を決めるものとする.このとき, h( x)=0 の解について,以下の条件を考えることにより, A 社の製造量 x は,価格 p に応じて次のように決まる.

〔1〕  0<p< のとき, h (x)= 0 は実数解をもたない.このとき, A 社の製造量 x となる.

〔2〕  p= のとき, h( x)=0 は重解 x= をもつ.このとき, A 社の製造量 x となる.

〔3〕  <p< のとき, h (x)= 0 は異なる 2 つの正の実数解をもつ.それらを α β 0< α<β で表すとき, A 社の製造量 x は, h(0 ) h (β) の大小関係により,次のように決まる.なお,以下の解答にあたっては,次の同値関係を用いてもよい.

a0 b0 とするとき, ab ab

(a)  h(0 )>h (β) のとき, A 社の製造量 x となる.このとき, p の範囲は < p< となる.

(b)  h(0 )<h (β) のとき, A 社の製造量 x は, p を用いて表すと, となる.このとき, p の範囲は <p < となる.

(c)  h(0 )=h( β) のとき p= となり, A 社の製造量 x は, あるいは となる.

〔4〕  p のとき, h( x)=0 は正の実数解と 0 以下の実数解を 1 つずつもつ.このとき, A 社の製造量 x は, p を用いて表すと, となる.

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易□ 並□ 難□

【3】  a b c を定数とする.円 C の方程式が

x2y 2+ax +by+c =0

であるとき,次の問いに答えよ.

〔1〕 円 C の中心の x 座標が 4 半径が 2 である.円 C が点 (6 ,1) を通るとき, a b c の値を求めよ.

〔2〕 以下, a b c の値は〔1〕で求めた値とする.

 続いて,点 P (-2, 0) を通り,傾きが 1 2 の直線を l とする.また, l が円 C と異なる 2 点で交わるとき,その 2 つの共有点を Q R とする. l に関して,円 C の中心と対称である点を S とするとき,

(a) 点 S の座標を求めよ.

(b)  3 Q R S を通る円の方程式を求めよ.

(c) 線分 PQ PR の長さの積 PQ PR の値を求めよ.

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