2020　立命館大　理系学部個別配点方式2月7日実施MathJax

【１】　$a\text{，}$$b$を実数とする．

〔1〕　$3$次方程式$x^3-ax-b=0$の解が$\alpha \text{，}$$\beta \text{，}$$\gamma$であるとすると，

$\alpha +\beta +\gamma =\text{ア}$

となる．

　次に，$p=\beta +\gamma \text{，}$$q=\beta \gamma$とおき，$c$は$\beta$または$\gamma$を表すとすると，

$c^5=\text{イ}c+\text{ウ}$

となる．ただし，$\text{イ}\text{，}$$\text{ウ}$には$p\text{，}$$q$のみを使った式が入る．さらに，$\alpha =-1\text{，}$$q=2$であるとすると，$p=\text{エ}\text{，}$$c=\text{オ}$となる．この場合，$c$についての$2$次以上の次数をもつ整式は，$c$の値$\text{オ}$を使わずに，$c$についての$1$次以下の整式で表すことができる．例えば

$c^5+c=\text{カ}$や$c^{15}+c=\text{キ}$

となる．

〔2〕　曲線$y=x^3-ax$と直線$y=b$を考えたとき，これらの曲線と直線とで囲まれる部分が存在するための必要十分条件は，$a$について$\text{ク}$であり，かつ，$b$が

$-\text{ケ}\leqq b\leqq \text{ケ}$

を満たすことである．$b=\text{ケ}$であるとき，囲まれた部分の図形の面積は$\text{コ}$となる．

【２】　$a$と$t$を実数とし，$a$は$0<a<1$を満たすとする．このとき，次の式で定められる直線$l(t)$と楕円$C$を考える．

$l(t)\text{：}y=ax+t$

$C\text{：}{x}^2+{\displaystyle \frac{y^2}{1-a^2}}=1$

〔1〕　$l(t)$と$C$が共有点をもつならば，$2$次方程式

$x^2+\text{ア}x+\text{イ}=0$

が実数解をもつから，$\text{ウ}\leqq t\leqq \text{エ}$となる．ただし，$\text{ウ}\text{，}$$\text{エ}$は$a$を含まない．

　$l(t)$と$C$が異なる$2$つの共有点をもつとき，その共有点の座標は，

$(\text{オ}\pm \text{カ},\text{キ}\pm a\text{カ}]$（複号同順）

となる．$l(t)$が$C$と接するのは$t=\text{ウ}$と$t=\text{エ}$のときである．点$\mathrm{P}$が$l(\text{ウ})$上を動き，点$\mathrm{Q}$が$l(\text{エ})$上を動くとき，線分$\mathrm{PQ}$の長さの最小値は$\text{ク}$となる．

〔2〕　$l(t)$が$C$上の点$(0,\sqrt{1-a^2})$を通るとき，$t=\text{ケ}$となり，$l(\text{ケ})$と$C$のもう$1$つの共有点の座標は$(\text{コ},\text{サ})$となる．このとき，不等式$y\geqq ax+\text{ケ}$が表す領域と楕円$C$の内部との共通部分の面積を$S$とすると

$a\sqrt{1-a^2}={\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき，$S=\text{シ}$となり，

$a\sqrt{1-a^2}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}$かつ$a<\sqrt{1-a^2}$のとき，$S=\text{ス}$となる．

【３】　$r$を正の実数，$n$を$2$以上の自然数とする．

〔1〕(a)　座標平面上の点$\mathrm{P}$$(x,y)$と$x$軸の距離は$\text{ア}\text{，}$点$\mathrm{P}$$(x.y)$と$y$軸の距離は$\text{イ}$となる．連立不等式$\text{ア}\leqq r\text{，}$$\text{イ}\leqq r$の表す領域の面積を$r$を用いて表すと$\text{ウ}$となる．

(b)　座標平面上において直線$y=0$（$x$軸）を$m_0$で表す．また，点${\mathrm{Q}}_1$$({\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}})\text{，}$原点$\mathrm{0}$の$2$点を通る直線を$m_1\text{，}$点${\mathrm{Q}}_2$$(-{\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}})\text{，}$原点$\mathrm{O}$の$2$点を通る直線を$m_2$と表す．$i=0\text{，}$$1\text{，}$$2$について，点$\mathrm{P}$$(x,y)$と直線$m_i$の距離を$x\text{，}$$y$を用いて表したものを$d_i$とする．連立不等式

$d_0\leqq r\text{，}$$d_1\leqq r\text{，}$$d_{\mathrm{２}}\leqq r$

の表す領域の面積を$r$を用いて表すと$\text{エ}$となる．

(c)　$k=0\text{，}$$\cdots \text{，}$$n-1$に対して，座標平面上の点${\mathrm{R}}_k$$(\cos {\displaystyle \frac{k\pi }{n}},\sin {\displaystyle \frac{k\pi }{n}})$と原点$\mathrm{O}$を通る直線を${m^{\prime }}_k$で表す．点$\mathrm{P}$$(x,y)$と直線${m^{\prime }}_k$の距離を$x\text{，}$$y$を用いて表したものを${d^{\prime }}_k$とするとき，連立不等式

${d^{\prime }}_0\leqq r\text{，}$${d^{\prime }}_1\leqq r\text{，}$$\cdots \text{，}$${d^{\prime }}_{n-1}\leqq r$

が表す領域の面積を$r$および$n$を用いて表すと，$\text{オ}$となる．さらに，

$\underset{n\to \infty }{\lim }\text{オ}=\text{カ}$

となる．

〔2〕　$k=0\text{，}$$\cdots \text{，}$$n-1$に対して，座標の定められた空間上の点${\mathrm{S}}_k$$(\cos {\displaystyle \frac{k\pi }{n}},\sin {\displaystyle \frac{k\pi }{n}},0)$と原点$\mathrm{O}$を通る直線を$l_k$で表す．点$\mathrm{T}$$(x,y,z)$と直線$l_k$の距離を$x\text{，}$$y\text{，}$$z$を用いて表したものを$e_k$とするとき，連立不等式

$e_0\leqq r\text{，}$$e_1\leqq r\text{，}$$\cdots \text{，}$$e_{n-1}\leqq r$

を満たす点$\mathrm{T}$$(x,y,z)$の集合が表す立体を$A_n$とする．$A_n$内で$z$座標が最大，最小となる点をそれぞれ${\mathrm{T}}_{+}$$(x_{+},y_{+},z_{+})\text{，}$${\mathrm{T}}_{-}$$(x_{-},y_{-},z_{-})$とおくと，

$(x_{+},y_{+},z_{+})=\text{キ}\text{，}$$(x_{-},y_{-},z_{-})=\text{ク}$

となる．$z_{-}\leqq t\leqq z_{+}$となる実数$t$について，平面$z=t$による$A_n$の断面の面積を$t\text{，}$$r$および$n$を用いて表すと$\text{ケ}$となる．よって，$A_n$の体積を$r$および$n$を用いて表すと，

${\displaystyle {\int }_{z_{-}}^{z_{+}}}\text{ケ}\mathit{dt}=\text{コ}$

である．さらに，

$\underset{n\to \infty }{\lim }\text{コ}=\text{サ}$

となる．

【４】　袋の中に，赤玉，白玉，黒玉が$1$個ずつ入っているとき，次のようなゲームを考える．

　袋から$1$個の玉を取り出す試行を$1$回行ったとき，取り出した玉が赤玉であれば得点を$1$点，白玉であれば得点を$-1$点，黒玉であれば得点を$C$点とする．ただし，$C\geqq 0$とする．その後，玉を袋に戻して試行を終える．以上の試行を$10$回繰り返してゲームを終える．

　$k$回目の試行における得点を$x_k$$\text{（}k=1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots \text{，}$$10\text{）}$と表す．

　以下の表は，$10$回の試行のうち赤玉を$5$回，白玉を$3$回取り出した場合の得点の$1$つの例を表している．

　以下，赤玉を取り出した回数を$i\text{，}$白玉を取り出した回数を$j$とする．$x_1\text{，}$$x_2\text{，}$$\cdots \text{，}$$x_{10}$の平均値を$M={\displaystyle \frac{1}{10}}{\displaystyle \sum _{n=1}^{10}}{x}_k\text{，}$分散を$V={\displaystyle \frac{1}{10}}{\displaystyle \sum _{k=1}^{10}}{(x_k-M)}^2$で表し，$0={\displaystyle \frac{1}{10}}{\displaystyle \sum _{k=1}^{10}}{x_k}^2$とする．

〔1〕　$V$は$M$と$Q$を用いて$V=\text{ア}$と表される．

〔2〕　$C=1$のとき，$i\text{，}$$j$を用いて$M$を表すと，$M=\text{イ}$である．$y={\displaystyle \frac{j}{5}}$として，$M$を$y$を用いて表すと，$M=\text{ウ}$となる．ここで，$y$は$\text{エ}$個の相異なる値をとりうる．$V$を$y$を用いて表すと，$V=\text{オ}$となり，これは$\text{カ}$個の相異なる値をとりうる．

〔3〕　$i=j=3$のときを考える．

(a)　$M=1$となるのは，$C=\text{キ}$のときである．

(b)　$V=1$となるのは，$C=\text{ク}$のときである．

(c)　実数$a$について，$a\geqq \text{ケ}$のとき$V=a$となる$C$が存在するが，$a<\text{ケ}$のとき$V=a$となる$C$は存在しない．$V=a$となる$C$が存在する場合，その値を$V$を用いて表すと$C=\text{コ}$となる．

〔4〕　$j=3$のときを考える．$M=1\text{，}$$V=3$であるとき，$i=\text{サ}\text{，}$$C=\text{シ}$となる．