2020　関西大　文系学部2月1日実施MathJax

$f(x)=\sqrt{2}\sin x-\sqrt{2}\cos x+1-2\sin x\cos x$

を考える．次の問いに答えよ．

(1)　$t=\sin x-\cos x$とおく．$t$のとりうる値の範囲を求めよ．

(2)　$f(x)$を(1)で定義した$t$を用いて表せ．

(3)　$f(x)$の最小値と最大値を求めよ．さらにそのときの$x$の値を求めよ．

　次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$がある．

$a_1=2\text{，}$${\displaystyle \frac{a_{n+1}}{n}}-{\displaystyle \frac{3a_n}{n+1}}={\displaystyle \frac{1}{{}_{n+1}C_2}}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

ここで${}_{n+1}C_2$は二項係数で$(n+1)$個から$2$個をとる組合せの総数である．

　${}_{n+1}C_2$を$n$の式で表すと$\text{①}$であり，$a_2$を求めると$a_2=\text{②}$である．$n{a}_n=b_n$とおくと，上の漸化式から$b_{n+1}$は$b_n$で表されて$b_{\mathrm{n}+1}=\text{③}$となる．これより一般項$b_n$を求めると$b_n=\text{④}$だから，$a_n={\displaystyle \frac{\text{④}}{n}}$である．このとき$2$つの整数$\text{④}$と$\text{④}+1$の桁数は等しいので，$a_{1000}$をこえない最大の整数は$\text{⑤}$桁の整数である．ただし${\log }_{10}3=0.4771$として用いてもよい．

　$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$とおく．いま，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{PR}}$を$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて$2$通りに表す．そのために実数$\alpha \text{，}$$\beta$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{BR}}=\alpha \overrightarrow{\mathrm{BC}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{PR}}=\beta \overrightarrow{\mathrm{PQ}}$とおく．

　$\overrightarrow{\mathrm{PR}}=\overrightarrow{\mathrm{PB}}+\overrightarrow{\mathrm{BR}}$だから，$\overrightarrow{\mathrm{PR}}$は$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}\text{，}$$t\text{，}$$\alpha$を用いて

$\overrightarrow{\mathrm{PR}}=(\text{①})\overrightarrow{b}+\alpha \overrightarrow{c}$$\cdots$(1)

と表される．$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}\text{，}$$t$で表して$\overrightarrow{\mathrm{PR}}=\beta \overrightarrow{\mathrm{PQ}}$に代入すると

$\overrightarrow{\mathrm{PR}}=\text{②}\overrightarrow{b}+\text{③}\overrightarrow{c}$$\cdots$(2)

である．(1)，(2)より$\alpha \text{，}$$\beta$は$t$で表すことができて，$\alpha ={\displaystyle \frac{\text{④}}{1-2t}}\text{．}$$\beta ={\displaystyle \frac{\text{⑤}}{1-2t}}$である．

　三角形$\mathrm{QCR}$の面積が三角形$\mathrm{QAP}$の面積の$2$倍となるような$t$の値は，$t=\text{⑥}$である．