2020　関西大　理系学部2月2日実施MathJax

(1)　$f(x)$の導関数の値が$1$となる$x$の値を求めよ．

(2)　$a=0$のとき，$C$と$l$の共有点の個数を求めよ．

(3)　$C$と$l$の共有点が$2$個となるための$a$の条件を求めよ．

　複素数平面上の点$z$で，方程式

$\alpha z+\beta \bar{z}+1+i=0$$\cdots$(＊)

を満たすもの全体の集合を$V$とおく．$z$の実部，虚部をそれぞれ$x\text{，}$$y$とする．(＊)の両辺の実部を比較することにより，方程式

$(\text{①})x-(\text{②})y+1=0$

が得られる．また，虚部を比較することにより，方程式

$(\text{③})x-(\text{④})y+1=0$

が得られる．

　$V$がある直線上の点全体の集合と等しくなるための必要十分条件は，$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d$を用いて表すと，

$(a.b)\ne (0,0)\text{，}$$c=\text{⑤}\text{，}$$d=\text{⑥}$

である．ただし，$\text{⑤}$と$\text{⑥}$は$a\text{，}$$b$を用いて表せ．この条件を$\alpha \text{，}$$\beta$を用いて表すと

$\alpha \ne 0\text{，}$$\beta =\text{⑦}$となる．

上の条件が成立するとき，$V$ の点に$1-i$ をかけて得られる点全体がつくる図形を$W$ とする．$V$と$W$ の共有点が$i$ となるような$a$ の値は$\text{⑧}$ である．

$x=\sin t\text{，}$$y={\sin }^{3}t+{\cos }^{3}t\text{，}$$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq t\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$

と表示されているとする．このとき次の問いに答えよ．

(1)　$t\ne \pm {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のとき，${\displaystyle \frac{\mathit{dy}}{\mathit{dx}}}$を$t$の関数として求めよ．

(2)　$C$の概形を解答欄の座標平面上に図示せよ．さらに，$C$と$x$軸の交点の座標も記入せよ．ただし，曲線の凹凸は調べなくてもよい．

(3)　定数$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を用いて，${\cos }^{4}t=a\cos 4t+b\cos 2t+c$と表す．$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を求めよ．

(4)　直線$x=1$と$x$軸と$y$軸，および$C$で囲まれた図形の面積を求めよ．