2020　関西大　法・経済・政策・外国語・総合情報2月6日実施MathJax

$f(x)={\displaystyle \frac{1+x+x^2+x^3}{4}}-{\left({\displaystyle \frac{x+1}{2}}\right)}^3$

について次の問いに答えよ．

(1)　$f(x)=0$を満たす$x$を求めよ．さらに$f(x)\geqq 0$が成り立つ$x$の範囲を求めよ．

(2)　$a>0\text{，}$$b>0$のとき，不等式

${\displaystyle \frac{a^3+a^{2}b+a{b}^2+b^3}{4}}\geqq {\left({\displaystyle \frac{a+b}{2}}\right)}^3$

を示せ．さらに等号が成り立つ条件も求めよ．

$2x+y-3+k(x-2y+1)=0$$\cdots$(＊)

を考える．次の$$をうめよ．ただし$k$は実数とする．

　$k$がどんな値をとっても，直線(＊)はある定点$\mathrm{A}$を通る．定点$\mathrm{A}$の座標は$\text{①}$である．直線(＊)が$x$軸と平行になるのは$k=\text{②}$のときであり，直線(＊)が$y$軸と平行になるのは$k=\text{③}$のときである．また直線(＊)が円$C\text{：}{x}^2+y^2=1$と異なる$2$点で交わるのは，$k$のとりうる値の範囲が$\text{④}$のときである．

　定点$\mathrm{A}$を通る$2$直線が$60\mathrm{°}$の角をなし，さらにその$2$直線が円$C$によって切り取られるそれぞれの線分の長さが等しいとき，原点とそれぞれの直線との距離は$\text{⑤}$である．そのような$2$直線を与える直線(＊)の$k$の値は${\displaystyle \frac{\text{⑥}}{3}}$である．

　点$\mathrm{P}$は長さ$1$の線分$\mathrm{AB}$を直径とする半円上を動く．ここで$\mathrm{P}$は点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$とは異なるものとし，$\mathrm{P}$から線分$\mathrm{AB}$に垂線$\mathrm{PH}$を下ろす．$\mathrm{\angle BAP}=\theta$とおく．$\mathrm{AP}$の長さを$\theta$を用いて表すと$\mathrm{AP}=\text{①}$である．よって$\mathrm{AH}$と$\mathrm{PH}$の長さを$2\theta$を用いて表すと，

$\mathrm{AH}=\text{②}\text{，}$$\mathrm{PH}=\text{③}$

である．このとき$\sin \alpha ={\displaystyle \frac{4}{5}}\text{，}$$\cos \alpha ＝-{\displaystyle \frac{3}{5}}$$\text{（}0<\alpha <2\pi \text{）}$を満たす$\alpha$を用いて，$4\mathrm{AH}-3\mathrm{PH}$は

$4\mathrm{AH}-3\mathrm{PH}=2+\text{④}\sin (2\theta +\alpha )$

と表される．よって$4\mathrm{AH}-3\mathrm{PH}$のとりうる値の範囲を求めると

$\text{⑤}\leqq 4\mathrm{AH}-3\mathrm{PH}<\text{⑥}$

である．