2020　関西大　総合情報学部2月1日実施MathJax

【１】　$a$を正の数とする．放物線$C_1\text{：}y=-a{x}^2+a-{\displaystyle \frac{1}{4a}}$の相異なる$2$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$における$C_1$の接線の交点を$\mathrm{P}$とする．$\mathrm{▵PAB}$が$\mathrm{\angle P}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$である直角二等辺三角形となっているとする．次の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{P}$の座標を$a$を用いて表せ．

(2)　$3$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$を通る放物線を$C_2$とする．$C_2$の方程式を求めよ．

(3)　$2$つの放物線$C_1\text{，}$$C_2$で囲まれる部分の面積を求めよ．

【２】　辺$\mathrm{BC}$を斜辺とする直角三角形$\mathrm{ABC}$を考える．辺$\mathrm{AB}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}$辺$\mathrm{BC}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．ただし，$0\leqq t\leqq 1$である．次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\perp \overrightarrow{\mathrm{PQ}}$となるときの$t$の値を求めよ．

(2)　$\mathrm{▵ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とする．重心が，$3$本の中線の交点であり，それぞれを$2:1$に内分する点であることより，$\overrightarrow{\mathrm{AG}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表せ．

(3)　直線$\mathrm{PQ}$は$\mathrm{G}$を通らないことを示せ．

【３】　さいころを$3$回投げて出た目を順に$a\text{，}$$b\text{，}$$c$とする．原点を$\mathrm{O}$とし，点$\mathrm{P}$$(1,0)\text{，}$点$\mathrm{A}$$(a,b)\text{，}$点$\mathrm{B}$$(-b,c)$を考える．次の$$をうめよ．

(1)　点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$が原点$\mathrm{O}$を中心とする同一円周上にある確率は$\text{①}$である．

(2)　点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$が点$\mathrm{P}$を中心とする同一円周上にある確率は$\text{②}$である．

(3)　$\mathrm{▵OAB}$の面積が$3$以上となる確率は$\text{③}$である．

(4)　点$\mathrm{A}$を頂点とし点$\mathrm{B}$を通る放物線が$x$軸と相異なる$2$点で交わる確率は$\text{④}$である．

(5)　$2$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$からの距離が等しい点の軌跡の方程式と$x$軸の交点が原点$\mathrm{O}$となる確率は$\text{⑤}$である．

【４】　数列$\{a_n\}$について，すべての自然数$n$に対して

${\displaystyle \sum _{k=1}^n}k{a}_k=n(n+1)(n+2)(n+3)$

が成り立っている．次の$$をうめよ．

(1)　$a_1=\text{①}\text{，}$$a_2=\text{②}$である．

(2)　$a_n=\text{③}$である．

(3)　$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k$とおくとき，$S_n=\text{④}$である．

(4)　$T_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{a_k}}$とおくとき，$T_n=\text{⑤}$である．

(5)　${\displaystyle \frac{23}{200}}<T_n<{\displaystyle \frac{3}{25}}$となる$n$の範囲は$\text{⑥}$である．