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2020-14991-0801
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2020 関西大学 システム理工・環境都市工・化学生命工学部
2月5日実施
易□ 並□ 難□
【1】 曲線 C:y= 1sin⁡2 ⁢x (0< x<π2 ) と直線 l:y= 2 で囲まれる図形を K とする.
(1) 関数 f⁡( x)= 1sin⁡2⁢ x の導関数 f′ ⁡(x ) を求めよ.また, 0<x< π2 における f⁡( x) の極値を求めよ.
(2) 曲線 C と直線 l の交点の x 座標を求めよ.
(3) 不定積分 ∫ 1sin ⁡2⁢x ⁢dx を求めよ.
(4) 図形 K の面積 S を求めよ.
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【2】 O を原点とする座標空間に 2 点 A (2,-1 ,1), B (-1, 2,2) がある.
このとき,次の を数値でうめよ.
(1) 内積 OA→ ⋅OB→ =① である.
(2) 点 C (x,y, z) は成分 x が正であり, |OC →|= 5⁢2 であるとする. OC→ が OA→ と OB→ の両方に垂直であるとき, x2+y2 +z2= ② であり, x= ③ である.
(3) (2)の点 C と点 D (1,1, 1) を通る直線と平面 OAB の交点を E とする.このとき,実数 s , t, u を用いて, OE→=s ⁢OA→+ t⁢OB→ , CE→=u ⁢CD→ と表すことができ, s= ④ , t= ⑤ , u= ⑥ である.
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【3】 O を原点とする複素数平面上の点 A ⁡(z ) は, z5=1 かつ z≠1 を満たしている.また, z の偏角 θ は 0<θ <π2 とする.このとき,次の をうめよ.
(1) cos⁡5⁢θ の値は ① である.
(2) θ の値は ② である.また, θ の値を用いて z を極形式で表すと, z= ③ である.
(3) z4+z3 +z2+z の値は ④ である.また, t=z+ 1z とする. z4+z3 +z2+z =④ の両辺を z2 で割り, t2 の係数が 1 である t の 2 次方程式で表すと ⑤= 0 である.したがって, cos⁡θ の値は ⑥ であることがわかる.
(4) 原点 O を中心とする半径 1 の円と点 A ⁡(z ) を中心とする半径 1 の円の 2 つの交点のうち,実部と虚部がともに正であるものを B ⁡(w ) とする.このとき, w の偏角 θ′ の値は ⑦ である.ただし, w の偏角 θ′ は 0<θ ′< π2 とする.
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【4】 次の をうめよ.
(1) 赤色のカードが 2 枚,白色のカードが 3 枚,黄色のカードが 4 枚の合計 9 枚のカードが箱の中に入っている.この箱から同時に 3 枚のカードを取り出すとき,取り出した 3 枚が異なる 3 色のカードである確率は ① であり,取り出した 3 枚のカードの色が 2 色である確率は ② である.
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(2) 2-18 ×( 12) 10=4 ③ である.
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(3) an= n3-n 3n (n= 1, 2, 3, ⋯) で定められた数列 {a n} がある.
an+1 -an= n( ④ ) 3n+1
となるから, an の最大値は ⑤ である.
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(4) n を 3 以上の自然数とする.周の長さが 1 である正 n 角形の外接円の半径を rn , 周の長さが 1 である正 n 角形の面積を Sn とするとき,
limn→∞ rn= ⑥ , limn→∞ Sn= ⑦
である.