2020 関西大 理系学部2月5日実施MathJax

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2020 関西大学 システム理工・環境都市工・化学生命工学部

2月5日実施

易□ 並□ 難□

【1】 曲線 Cy= 1sin2 x (0< x<π2 ) と直線 ly= 2 で囲まれる図形を K とする.

(1) 関数 f( x)= 1sin2 x の導関数 f (x ) を求めよ.また, 0<x< π2 における f( x) の極値を求めよ.

(2) 曲線 C と直線 l の交点の x 座標を求めよ.

(3) 不定積分 1sin 2x dx を求めよ.

(4) 図形 K の面積 S を求めよ.

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2月5日実施

易□ 並□ 難□

【2】  O を原点とする座標空間に 2 A (2,-1 ,1) B (-1, 2,2) がある.

 このとき,次の   を数値でうめよ.

(1) 内積 OA OB = である.

(2) 点 C (x,y, z) は成分 x が正であり, |OC |= 52 であるとする. OC OA OB の両方に垂直であるとき, x2+y2 +z2= であり, x= である.

(3) (2)の点 C と点 D (1,1, 1) を通る直線と平面 OAB の交点を E とする.このとき,実数 s t u を用いて, OE=s OA+ tOB CE=u CD と表すことができ, s= t= u= である.

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【3】  O を原点とする複素数平面上の点 A (z ) は, z5=1 かつ z1 を満たしている.また, z の偏角 θ 0<θ <π2 とする.このとき,次の   をうめよ.

(1)  cos5θ の値は である.

(2)  θ の値は である.また, θ の値を用いて z を極形式で表すと, z= である.

(3)  z4+z3 +z2+z の値は である.また, t=z+ 1z とする. z4+z3 +z2+z = の両辺を z2 で割り, t2 の係数が 1 である t 2 次方程式で表すと = 0 である.したがって, cosθ の値は であることがわかる.

(4) 原点 O を中心とする半径 1 の円と点 A (z ) を中心とする半径 1 の円の 2 つの交点のうち,実部と虚部がともに正であるものを B (w ) とする.このとき, w の偏角 θ の値は である.ただし, w の偏角 θ 0<θ < π2 とする.

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【4】 次の   をうめよ.

(1) 赤色のカードが 2 枚,白色のカードが 3 枚,黄色のカードが 4 枚の合計 9 枚のカードが箱の中に入っている.この箱から同時に 3 枚のカードを取り出すとき,取り出した 3 枚が異なる 3 色のカードである確率は であり,取り出した 3 枚のカードの色が 2 色である確率は である.

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【4】 次の   をうめよ.

(2)  2-18 ×( 12) 10=4 である.

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易□ 並□ 難□

【4】 次の   をうめよ.

(3)  an= n3-n 3n n= 1 2 3 で定められた数列 {a n} がある.

an+1 -an= n( ) 3n+1

となるから, an の最大値は である.

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【4】 次の   をうめよ.

(4)  n 3 以上の自然数とする.周の長さが 1 である正 n 角形の外接円の半径を rn 周の長さが 1 である正 n 角形の面積を Sn とするとき,

limn rn= limn Sn=

である.

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