2020　関西大学　全学部日程　法・文・経済・商・社会・政策創造・人間健康・総合情報・社会安全学部2月7日実施MathJax

2020-14991-0901

2020　関西大学　全学部日程

法・文・経済・商・社会・政策創造・人間健康・総合情報・社会安全学部

2月7日実施

易□　並□　難□

【１】　 $3$ 次関数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + a x^{2} + b x$ を考える．ここで $a ，$ $b$ は実数の定数である．次の問いに答えよ．

(1)　 $f (x)$ が極大値と極小値をもつための条件を $a$ と $b$ の不等式で表せ．

(2)　 $f (x)$ が $- 1 < x < 1$ において，極大値と極小値をもつとき，点 $(a, b)$ の存在する領域を所定の解答欄の座標平面上に図示せよ．そのとき，領域の境界線の方程式も書き入れること．ただし，その方程式の求め方は解答しなくてよい．

(3)　(2)で図示した領域とその境界からなる図形の面積 $S$ を求めよ．

2020-14991-0902

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法・文・経済・商・社会・政策創造・人間健康・総合情報・社会安全学部

2月7日実施

易□　並□　難□

【２】　 $x > 0 ，$ $y > 0 ，$ $x^{2} + y^{2} = 64$ とする．次のをうめよ．

(1)　 $\log_{\frac{1}{2}} y = \log_{2} ①$ であるから，

$\log_{\frac{1}{2}} y + \log_{2} (x y^{2}) = \log_{2} (②)$

である．これより， $\log_{\frac{1}{2}} y + \log_{2} (x y^{2})$ は最大値 $③$ をとり，そのときの $x ，$ $y$ の値は $x = y = 2^{④}$ である．

(2)　 $x = 8 \cos θ ，$ $y = 8 \sin θ$ とおく． $0 < θ < \frac{π}{4}$ のとき，

$\log_{2} (x - y) + \log_{2} (x + y) + \log_{2} (x y)$

は $θ$ を用いて

$\log_{2} (2^{⑤} \sin ⑥)$

と表される．したがって， $(x, y)$ が円 $x^{2} + y^{2} = 64$ 上の $x > y > 0$ である部分を動くとき， $\log_{2} (x - y) + \log_{2} (x + y) + \log_{2} (x y)$ は最大値 $③$ をとり，そのときの $θ$ の値は $⑦$ である．

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法・文・経済・商・社会・政策創造・人間健康・総合情報・社会安全学部

2月7日実施

易□　並□　難□

【３】　次のを数値でうめよ．

　平面上に三角形 $ABC$ があり，各辺の長さは $AB = 4 ，$ $BC = 8 ，$ $CA = 6$ である．三角形 $ABC$ の外接円 $K$ の中心を $O$ とする． $∠BAC = θ$ とおくと， $\cos θ = ①$ であるので，三角形 $ABC$ は鈍角三角形であり， $O$ は三角形 $ABC$ の外部にあることがわかる．このときベクトル $\vec{AB}$ と $\vec{AC}$ の内積は， $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = ②$ である．また $K$ の半径の長さを $R$ とすると $R = ③$ である．

　ここで

$\vec{AO} = x \vec{AB} + y \vec{AC}$

とおく． $O$ が三角形 $ABC$ の外心であることに注意して，次の内積を求めると

$\vec{AO} \cdot \vec{AB} = ④ ，$ $\vec{AO} \cdot \vec{AC} = ⑤$

である．これらを使って $x ，$ $y$ を求めると $x = ⑤ ，$ $y = ⑦$ である．

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