2020　関西大　全学部日程総合情報学部2月8日実施MathJax

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{．}$$\overrightarrow{\mathrm{AC}}\text{．}$$b\text{．}$$c$を用いて表せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{BQ}}=k\overrightarrow{\mathrm{BC}}$と表す．$k$を$b$と$c$を用いて表せ．

(3)　$\mathrm{BQ}:\mathrm{CQ}$を求めよ．また，点$\mathrm{Q}$はどのような点であるといえるか．

(1)　放物線$C$を原点$\mathrm{O}$に関して対称に移動した放物線$D$の方程式を求めよ．

(2)　原点$\mathrm{O}$から放物線$C$にいた接線は放物線$D$にも接していることを示せ．

(3)　原点$\mathrm{O}$から放物線$C$に引いた接線と放物線$C$で囲まれる部分の面積を求めよ．

(1)　$n$が$3$桁の整数となる確率は$\text{①}$である．

(2)　$100\leqq n\leqq 200$となる確率は$\text{②}$である．

(3)　$\sin {\displaystyle \frac{n}{12}}\pi =1$となる確率は$\text{③}$である．

(4)　${\log }_{2}n$が整数となる確率は$\text{④}$である．

(5)　$n^2-1000$が正となる最小の$n$は$\text{⑤}$である．また，$\sqrt{n^2-1000}$が整数となる確率は$\text{⑥}$である．

(1)　自然数$n$に対して．$a_n=2^n+5$とおく．$a_1=\text{①}\text{．}$$a_2=\text{②}$である．$a_{n+1}$を$a_n$を用いて表すと$\text{③}$となる．$n-1$が$\text{④}$の倍数のとき，$a_n$は$7$の倍数となる．

(2)　自然数$n$に対して，$b_n=3^{3n-1}+5^{3n-2}$とおく．$b_1=\text{⑤}\text{．}$$b_2=\text{⑥}$である．任意の自然数$k$に対して，$b_{k+1}$を$b_k$と$5^{3k-2}$を用いて装すと

$b_{k+1}=\text{⑦}{b}_k+\text{⑧}{5}^{3k-2}$

である．$b_k$を$\text{⑨}$の倍数としたとき，$\text{⑧}$も$\text{⑨}$の倍数であることより，$b_{k+1}$も$\text{⑨}$の倍数となる．したがって，すべての自然教$n$に対して，$b_n$は$\text{⑨}$の倍数となる．