2020　関西学院大　理工学部全学日程MathJax

【１】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　$2020$の約数のうち，$3$桁の素数は$1$個だけで，それは$\text{ア}$である．$2020$の約数は$\text{イ}$個あり，それらの和は$\text{ウ}$である．また，$3$桁の約数は$\text{エ}$個ある．

【１】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　${\log }_2\{x+2)+{\mathrm{iog}}_2(2x-3)=2$の解は$x=\text{オ}$である．また，$2{\{{\log }_{2}x)}^2+5{\log }_{2}x-12=0$は有理数の解$x=\text{カ}$と無理数の解$x=\text{キ}$をもつ．

【１】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(3)　$\mathrm{▵ABC}$の$3$つの角$A\text{，}$$B\text{，}$$C$について$\sin A:\sin B:\sin C=7:5:3$とする．このとき$A=\text{ク}$であり，辺$\mathrm{AC}$を直径とする円の面積は$\mathrm{▵ABC}$の面積の$\text{ケ}$倍である．また，点$\mathrm{B}$から直線$\mathrm{AC}$に無線$\mathrm{BH}$を下ろすと，$\mathrm{H}$は辺$\mathrm{AC}$を$\text{コ}$の比に外分する．

【２】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

　$xy$平面において$\mathrm{O}$$(0,0)\text{，}$$\mathrm{A}$$(1,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(0,\sqrt{3})\text{，}$$\mathrm{C}$$(-1,0)$とする．$0<\alpha <1$とする．線分$\mathrm{AB}$を$\alpha :1-\alpha$に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}$線分$\mathrm{BC}$を$\alpha :1-\alpha$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．このとき，$\mathrm{P}$の範囲は$\text{ア}$である．$\beta =1-\alpha$とおくと$\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|=\sqrt{\text{イ}{\alpha }^2+{\beta }^2}$であり，$t=\alpha \beta$とおくと$t$のとりうる値の範囲は$0<t\leqq \text{ウ}$である．

　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$t$ で表すと$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\text{エ}$ である．また，${\alpha }^2+{\beta }^2\text{，}$${\alpha }^4+{\beta }^4$と$\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|\left|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\right|$を$t$で表すと，${\alpha }^2+{\beta }^2=\text{オ}\text{，}$${\alpha }^4+{\beta }^4=\text{カ}\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|\left|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\right|=\text{キ}$である．

　$\theta =\mathrm{\angle POQ}$とおくと．$\theta$のとりうる値の範囲は，$\text{ク}\leqq \theta <\text{ケ}$であり，$\theta =\text{ク}$となるのは$\alpha =\text{コ}$のときである．

【３】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

　数列$\{a_n\}$は初項$3\text{，}$公近$3$の等比数列とすると，その一般項は$a_n=\text{ア}$であり，${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k=\text{イ}$である．数列$\{b_n\}$を$b_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{k}^2$で定義すると，その一般項は$b_n=\text{ウ}$である．

　数列$\{c_n\}$について

${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k{b}_k{c}_k={\displaystyle \frac{1}{36}}(2n+1)(2n+3)(2n+5)$$\cdots$(＊)

が成り立つとする．このとき$c_1=\text{エ}$である．$T_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k{b}_k{c}_k$とおく．(＊)より，$n\geqq 2$のとき$T_n-T_{n-1}$を$n$の式で表すと$T_n-T_{n-1}=\text{オ}$である．ゆえに$n\geqq 2$のとき$c_n=\text{カ}$である．以上より

$\underset{n\to \infty }{\lim }n{3}^n{c}_n=\text{キ}\text{，}$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{\displaystyle \frac{3^n{c}_n}{2n+3}}=\text{ク}$

である．また，$c_n+{\displaystyle \frac{1}{3^n(n+1)}}=\text{ケ}$$\text{（}n\geqq 2\text{）}$であるから${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{c}_n=\text{コ}$である．

【４】　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$は定数で．$a>0\text{．}$$b>0\text{，}$$c>1$とする．$2$つの関数$f(x)$と$g(x)$を

$f(x)=a\sqrt{x}\text{，}$$g(x)=b\sqrt{c-x}$

とし，$2$つの曲線$C_1$と$C_2$を$C_1\text{：}y=f(x)\text{．}$$C_2\text{：}y=g(x)$とする．また，曲線$C_1$と曲線$C_2$は点$\mathrm{A}$において交わり，かつ点$\mathrm{A}$における$C_1$の接線と$C_2$の接線が垂直であるとする．ただし，点$\mathrm{A}$の$x$座標は$1$とする．さらに，曲線$C_1$と曲線$C_2$および$x$軸で囲まれた部分を$D$とする．

　次の問いに答えよ．

(1)　$2$つの関数$f(x)$および$g(x)$の導関数を求めよ．

(2)　$b$の値を求めよ．また，$a$を$c$で表せ．

(3)　$D$の面積が${\displaystyle \frac{40}{3}}$であるとする．このとき，$a$と$c$の値，および交点$\mathrm{A}$の座標を求めよ．

(4)　$a$と$c$が(3)の値をとるとき，$D$を$x$の周りに$1$回転させてできる立体の体積$V_x$と$y$軸の周りに回転させてできる立体の体積$V_y$を求めよ．