2020　関西学院大　文系学部全学日程2月2日実施MathJax

(1)　$\mathrm{▵ABC}$の内接円を$K$とし，その中心を$\mathrm{O}$とする．また，円$K$と辺$\mathrm{BC}$の接点を$\mathrm{D}$とし，円$K$と辺$\mathrm{AC}$の接点を$\mathrm{E}$とする，内接円$K$の半径が$1$であり，$\mathrm{BD}=2$であるとき，$\sin \mathrm{\angle OBD}=\text{ア}$であり，$\cos \mathrm{\angle ABC}=\text{イ}$である，さらに，$\mathrm{AE}={\displaystyle \frac{3}{2}}$であるとき，頂点$\mathrm{A}$から直線$\mathrm{BC}$に下ろした垂線を$\mathrm{AH}$とすると$\mathrm{AH}=\text{ウ}$である．また，このとき$\mathrm{CD}=\text{エ}$である．

(2)　袋の中に，$1\text{，}$$2\text{，}$$3$の数字が書かれた玉がそれぞれ$2$個ずつと，$4\text{，}$$5$の数字が書かれた玉がそれぞれ$1$個ずつ，合計$8$個の玉が入っている．この袋から$1$個の玉を取り出して，書かれた数字を確認して袋に戻すことを$3$回繰り返し，書かれていた数字を順に$X\text{，}$$Y\text{，}$$Z$とする．このとき，$X\text{，}$$Y\text{，}$$Z$がすべて一致している確率は$\text{オ}$であり，$X\text{，}$$Y\text{，}$$Z$のうち$2$つが一致し，残りの$1$つが異なっている確率は$\text{カ}$である．また，$X\text{，}$$Y\text{，}$$Z$がすべて異なっており，$X\text{，}$$Y\text{，}$$Z$を$3$辺の長さとする三角形が存在する確率は$\text{キ}$である．

(1)　整式$P(x)=x^4+a{x}^2+bx+17$は$x^2+3x+4$で割ると余りが$-2x+1$になるとする．このとき$a=\text{ア}\text{，}$$b=\text{イ}$である．また$P\left({\displaystyle \frac{-3+\sqrt{7}i}{2}}\right)$の値は$P\left({\displaystyle \frac{-3+\sqrt{7}i}{2}}\right)=\text{ウ}$である．ただし，$i$は虚数単位とする．

(2)　数列$\{a_n\}$は初頭$a\text{，}$公差$d$の等差数列で$a_{13}=0$であるとし，$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とおく．また，数列$\{b_n\}$は初項$a\text{，}$公比$r$の等比数列とし，$b_3=a_{10}$を満たすとする．ただし，$a$と$r$は正の数であるとする．このとき，$r$の値は$r=\text{エ}$であり，$S_n<0$となるような$n$のうち最小のものは$\text{オ}$である．さらに$S_{10}=25$のとき，$a=\text{カ}$であり，${\displaystyle \sum _{k=1}^8}{b}_k=\text{キ}$である．

(1)　接線$l$の方程式を$a$を用いて表せ．

(2)　$f(x)$の極大値が$0$であるとき，定数$a$の値と$f(x)$の極小値を求めよ．

(3)　$a$が(2)で求めた値であるとき，曲線$C$と接線$l$および直線$y=-x$で囲まれた部分の面積を求めよ．