2020　関西学院大　教育(理系)，総合政策，理工学部個別日程MathJax

【１】　(1)，(2)，(3)の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

　また，(4)の文章中の$$に「必要十分条件である」が当てはまる場合は１を，「必要条件であるが，十分条件でない」が当てはまる場合は２を，「十分条件であるが，必要条件でない」が当てはまる場合は３を，「必要条件でも十分条件でもない」が当てはまる場合は４を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．

(1)　$A={(2^{\frac{4}{3}}\times 2^{-1})}^6\times {\left\{{\left({\displaystyle \frac{16}{81}}\right)}^{-\frac{5}{6}}\right\}}^{\frac{3}{5}}$と$B=(\sqrt[3]{2}+\sqrt[6]{3})(\sqrt[3]{2}-\sqrt[6]{3})(\sqrt[3]{16}+\sqrt[3]{12}+\sqrt[3]{9})$を計算すると，$A=\text{ア}\text{，}$$B=\text{イ}$となる．

【１】　(1)，(2)，(3)の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

　また，(4)の文章中の$$に「必要十分条件である」が当てはまる場合は１を，「必要条件であるが，十分条件でない」が当てはまる場合は２を，「十分条件であるが，必要条件でない」が当てはまる場合は３を，「必要条件でも十分条件でもない」が当てはまる場合は４を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．

(2)　$x>1\text{，}$$\sqrt{x}+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}}=\sqrt{6}$とすると，$x=\text{ウ}\text{，}$${\displaystyle \frac{1}{x^2}}=\text{エ}$である．

【１】　(1)，(2)，(3)の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

　また，(4)の文章中の$$に「必要十分条件である」が当てはまる場合は１を，「必要条件であるが，十分条件でない」が当てはまる場合は２を，「十分条件であるが，必要条件でない」が当てはまる場合は３を，「必要条件でも十分条件でもない」が当てはまる場合は４を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．

(3)　$Q(z)=x^2-2x+\text{オ}$とおくと$Q(1-2i)=0$が成り立つ．

　このとき，$P(x)=x^4-4x^3+3x^2+7x+6$を$Q(x)$で割った余りは$\text{カ}$なので，$P(1-2i)=\text{キ}$である．また，$P(1-2i)$と$P(1+2i)$の積は$\text{ク}$である．

【１】　(1)，(2)，(3)の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

　また，(4)の文章中の$$に「必要十分条件である」が当てはまる場合は１を，「必要条件であるが，十分条件でない」が当てはまる場合は２を，「十分条件であるが，必要条件でない」が当てはまる場合は３を，「必要条件でも十分条件でもない」が当てはまる場合は４を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．

(4)　実数$r$について，$3r$が無理数であることは$r$が無理数であるための$\text{ケ}\text{．}$

　$xy$平面上の点について，$x$座標と$y$座標がともに整数であることは，原点からの距離が整数であるための$\text{コ}\text{．}$

【２】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

　座標平面上の$4$点$\mathrm{O}$$(0,0)\text{，}$$\mathrm{A}$$(1,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(1,1)\text{，}$$\mathrm{C}$$(0,1)$を頂点とする正方形を考える．点$\mathrm{P}$は$1$秒ごとに，この正方形のある頂点から隣の頂点に移動する．ただし，$x$軸と平行な方向に移動する確率は$p$$\text{（}0<p<1\text{），}$$y$軸と平行な方向に移動する確率は$1-p$である．点$\mathrm{P}$が最初に頂点$\mathrm{A}$にいるとき，$n$秒後$\text{（}n\geqq 1\text{）}$に頂点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{C}$にいる確率をそれぞれ$a_n\text{，}$$c_n$とする．

(1)　$a_1=\text{ア}$である．

(2)　$a_2=\text{イ}\text{，}$$c_2=\text{ウ}$である．

(3)　$a_{n+2}$を$p\text{，}$$a_n\text{，}$$c_n$で表すと$\text{エ}$であり，$c_{n+2}$を$p\text{，}$$a_n\text{，}$$c_n$で表すと$\text{オ}$である．

(4)　$a_{2m}+c_{2m}$$\text{（}m=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$と$a_{2m}-c_{2m}$$\text{（}m=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$はそれぞれ公比$\text{カ}\text{，}$$\text{キ}$の等比数列である．

(5)　$n$が$2$以上の偶数のとき$a_n=\text{ク}\text{，}$$c_n=\text{ケ}$である．また，${\displaystyle \sum _{n=1}^{2m}}{a}_n=\text{コ}$である．

【３】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

　関数$f(x)=e^{-x}\sin x\text{，}$$g(x)=e^{-x}\cos x$とおく．ただし，$e$は自然対数の底である．

(1)　曲線$y=f(x)$$\text{（}x\geqq 0\text{）}$と$x$軸との共有点を$x$座標の小さな順に並べ，それらを${\mathrm{P}}_0\text{，}$${\mathrm{P}}_1\text{，}$${\mathrm{P}}_2\text{，}$$\cdots$とする．点${\mathrm{P}}_0$は原点である．点${\mathrm{P}}_n$の$x$座標は$\text{ア}$である．

(2)　関数$f(x)$を微分すると$f^{\prime }(x)=\text{イ}$である．

　また，$n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots$に対して，$(n-1)\pi \leqq x\leqq n\pi$の範囲において$f(x)$は$x=\text{ウ}$で極値をとり，$f(\text{ウ})={(-1)}^{n-1}\text{エ}$である．

(3)　点${\mathrm{Q}}_n$を$(\text{ウ},{(-1)}^{n-1}\text{エ})$とする．三角形${\mathrm{P}}_{n-1}{\mathrm{P}}_n{\mathrm{Q}}_n$の面積を$S_n$とすると，$S_n=\text{オ}\text{，}$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{S}_n=\text{力}$である．

(4)　${\{f(x)+g(x)\}}^{\prime }=\text{キ}f(x)$であるから${\displaystyle \int }f(x)\mathit{dx}=\text{ク}\{f(x)+g(x)\}+C$となる．ただし，$C$は積分定数である．

(5)　曲線$y=f(x)$と線分${\mathrm{P}}_0{\mathrm{Q}}_1$で囲まれる領域$D$の面積は$\text{ケ}$である．また，$D$を$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積は$\text{コ}$である．

【４】　$xy$平面において，放物線$C\text{：}y={\displaystyle \frac{x^2}{2}}$上の$2$点$\mathrm{A}$$(\alpha .{\displaystyle \frac{{\alpha }^2}{2}})\text{，}$$\mathrm{B}$$(\beta ,{\displaystyle \frac{{\beta }^2}{2}})$$\text{（}\alpha <\beta \text{）}$を結ぶ線分の中点の座標を$(p,q)$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\alpha =-{\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}$$\beta ={\displaystyle \frac{3}{2}}$のとき，$(p,q)$および線分$\mathrm{AB}$の長さを求めよ．

(2)　$p=-1\text{，}$$q={\displaystyle \frac{5}{2}}$のとき，$\alpha \beta$および線分$\mathrm{AB}$の長さを求めよ．

(3)　$p\text{，}$$q$が(2)の値と限らない一般の場合に，$\alpha \beta$および線分$\mathrm{AB}$の長さを$p\text{，}$$q$で表せ．

(4)　$\mathrm{AB}={\displaystyle \frac{5}{2}}$のとき，$q$を$p$で表せ．また，$\mathrm{AB}={\displaystyle \frac{5}{2}}$を満たしながら点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$が$C$上を動くとき，$q$の最小値とそのときの$p$の値を求めよ．