2020　関西学院大　文系関学独自方式2月5日実施MathJax

【１】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)(ⅰ)　$|x+2|-|x-1|\geqq x$かつ$x\leqq -2$を満たす実数$x$の範囲を求めると，$x\leqq \text{ア}$である．

(ⅱ)　$a$を実数とし，$|x+2|-|x-1|\geqq x$を満たす$x$の範囲を定義域とする関数

$f(x)=a{x}^2-x+{\displaystyle \frac{1}{4}}a$

を考える．$a\geqq {\displaystyle \frac{1}{6}}$のとき$f(x)$の最小値は$\text{イ}$であり，$0<a<{\displaystyle \frac{1}{6}}$のとき$f(x)$の最小値は$\text{ウ}$である．また，$-{\displaystyle \frac{1}{2}}<a<-{\displaystyle \frac{1}{4}}$のとき，$f(x)$の最大値は$\text{エ}$である．ただし，$\text{イ}\text{，}$$\text{ウ}\text{，}$$\text{エ}$は$a$を含む式とする．

【１】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　$12$段の階段を上り下りするゲームがある．ルールは次の通りである．

・最初は階段の一番下の段（$0$段目）にいる．

・$1$個のサイコロを投げて，偶数の目が出れば，その日の数だけ階段を上がる．一方，奇数の目が出れば，その日の数だけ階段を下りる．ただし，サイコロを投げるときにいた段以上の奇数の目が出たときは，$0$段目に下りる．また，$0$段目にいるときに奇数の目が出たときは，$0$段目にとどまる．

・最上段（$12$段目）に達したところで，ゲームは終了する．

このとき，サイコロを$2$回投げた結果，$6$段目にいる確率は$\text{オ}$である．サイコロを$2$回投げた結果$4$段日以上$8$段目以下にいたとき，$6$段目にいる条件付き確率は$\text{カ}$である．また，サイコロを$3$回投げてゲームが終了する確率は$\text{キ}$である．

【２】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　$\theta$を$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$を満たす正の実数とし，$t=\sin \theta +\sqrt{3}\cos \theta$とする．このとき，$t$のとりうる値の範囲は$\text{ア}$である．さらに，$a$を定数とし，$y=a\sin \theta +a\sqrt{3}\cos \theta +\sqrt{3}\sin 2\theta +\cos 2\theta$とするとき，$y$を$t$の$2$次式で表すと，$y=\text{イ}$となる．$a=3$のとき，$y$の最小値は$\text{ウ}$である．また，$y$が最小値をとる$\theta$の値が$2$つあるような$a$の値の範囲は$\text{エ}$である．

【２】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　四面体$\mathrm{OABC}$において，

$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=2\text{．}$$\mathrm{OC}=1\text{．}$$\mathrm{\angle AOB}=\mathrm{\angle BOC}=\mathrm{\angle AOC}=60\mathrm{°}$

とし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおく．$0<p<1\text{，}$$0<q<1\text{，}$$0<r<1$を満たす定数$p\text{，}$$q\text{，}$$r$に対して，辺$\mathrm{OA}$を$p:1-p$に内分する点を$\mathrm{P}\text{．}$辺$\mathrm{OC}$を$q:1-q$に内分する点を$\mathrm{Q}\text{，}$線分$\mathrm{PB}$を$r:1-r$に内分する点を$\mathrm{R}$とする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{QR}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}\text{，}$$p\text{．}$$q\text{．}$$r$を用いて表すと，$\overrightarrow{\mathrm{QR}}=\text{オ}$となる．したがって，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$と$\overrightarrow{\mathrm{QR}}$が垂直であるとき，$q$を$p$と$r$の式で表すと$q=\text{カ}$である．$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$と$\overrightarrow{\mathrm{QR}}$が垂直で，さらに$p={\displaystyle \frac{1}{2}}$であるならば，$\mathrm{▵OCR}$の面積が最小となるのは$r=\text{キ}$のときである．

【３】　$a\text{，}$$k$を正の実数とし，$f(x)=x^3+(a-k-1)x^2-ax$とする．$xy$平面において，曲線$C_1\text{：}y=f(x)$と故物線$C_2\text{：}y=-k{x}^2$の共有点の中で，$x$座標が最も大きい点を$\mathrm{P}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{P}$の座標と，点$\mathrm{P}$における曲線$C_1$の接線の傾きを$a\text{，}$$k$を用いて表せ．

(2)　曲線$C_1$と放物線$C_2$で囲まれる領域のうち，$x\leqq 0$の範囲にある部分の面積を$S_1\text{，}$$x\geqq 0$の範囲にある部分の面積を$S_2$とするとき，$S_1\text{，}$$S_2$をそれぞれ$a$の式で表せ．

(3)　点$\mathrm{P}$における曲線$C_1$の接線と，点$\mathrm{P}$における放物線$C_2$の接線が直交しているとする．このとき，$a$の取りうる値の範囲を求めよ．

(4)　(2)で求めた$S_1\text{，}$$S_2$に対して，$g(a)=5S_1-4a^2{S}_2$とおく．$a$が(3)で求めた範囲を動くとき，$g(a)$の最小値を求めよ．