2020 関西学院大 理系関学独自入試2月5日実施MathJax

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2020 関西学院大学 理系関学独自方式

2月5日実施

易□ 並□ 難□

【1】 次の文章中の   に適する式または数値を,解答用紙の同じ記号のついた   の中に記入せよ.途中の計算を書く必要はない.

(1)  k 0 でない定数とする. 2 つの 2 次不等式

x2-7 x+12<0 x2-3 kx+2 k2<0

を考える. を満たす x の値の範囲は である.

  k<0 の場合は, を満たす x の値の範囲は であり,そのような x を満たさない.

  k>0 として考えよう. の両方を満たす x が存在するような k の値の範囲は である.

 また, を満たす x がすべて を満たすような k の値の範囲は である.

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2月5日実施

易□ 並□ 難□

【1】 次の文章中の   に適する式または数値を,解答用紙の同じ記号のついた   の中に記入せよ.途中の計算を書く必要はない.

(2)  3 つの分数式

R=x -1x ×( x+1x- 1- x-1x+ 1)

S=x 3-x2- 4x+4 x4-1 × x+1x+ 2

T=3 x3+1 +x- 2x2- x+1

を簡単にすると R= S= y= である.

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易□ 並□ 難□

【1】 次の文章中の   に適する式または数値を,解答用紙の同じ記号のついた   の中に記入せよ.途中の計算を書く必要はない.

(3)  0x<2 π の範囲で考える.

  sin2x +sinx=0 の解のうち最も大きいものは x= である.

  sin3x- sinx=0 の解のうち最も大きいものは x= である.

  cos3x+ cos2x+ cosx+1= 0 の解のうち最も大きいものは x= である.

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【2】 次の文章中の   に適する式または数値を,解答用紙の同じ記号のついた   の中に記入せよ.途中の計算を書く必要はない.

 点 O A B を同一直線上にない平面上の 3 点とし, OA= a OB= b とおく.三角形 OAB において,辺 OA の中点を C OB 2:3 に内分する点を D AB 2:1 に内分する点を E とする.また,線分 AD と線分 CE の交点を F 直線 CE と直線 OB の交点を G とする.

 点 F が線分 AD s:1 -s に内分するとして OF a b s で表すと OF = a+ b となる.また,点 F が線分 CE t:1- t に内分するとして OF a b t で表すと OF = a+ b となる.これらより s= t= である.

  OG= b である.また三角形 BEG の面積は三角形 OAB の面積の 倍である.さらに OA=1 かつ点 F が三角形 OAB の内心であるとき, AB= OB= である.

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【3】 次の文章中の   に適する式または数値を,解答用紙の同じ記号のついた   の中に記入せよ.途中の計算を書く必要はない.

 箱の中に白玉と赤玉が合計 4 個入っている. 1 回の試行において,無作為に箱から玉を 1 個取り出し,取り出した玉が白玉であればそのまま箱に戻し,赤玉であれば白く塗り替えてから箱に戻す.

(1) 最初に白玉 3 個,赤玉 1 個が箱の中に入っているとき

(a)  1 回目の試行が終わったときに箱の中が白玉 1 個である確率は である.

(b)  2 回目の試行が終わったときに箱の中が白玉 3 個と赤玉 1 個である確率は である.

(2) 最初に白玉 2 個,赤玉 2 個が箱の中に入っているとき

(a)  2 回日の試行が終わったときに箱の中が白玉 3 個と赤玉 1 個である確率は である.

(b)  2 回目の試行が終わったときに箱の中が白玉 4 個である確率は である.

(c)  3 回目の試行ではじめて箱の中が白玉 4 個となる確率は である.

(d)  3 回目の試行が終わったときに赤玉が残っている確率は である.

(3) 最初に白玉 1 個,赤玉 3 個が箱の中に入っているとき

(a)  3 回目の試行が終わったときに箱の中が白玉 4 個である確率は である.

(b)  4 回目の試行ではじめて箱の中が白玉 4 個となる確率は である.

(c)  n 回目の試行が終わったときに白玉 2 個と赤玉 2 個である確率 Pn を求めよう. n 回のうち j 回目だけ赤玉が出て他は白玉が出る確率は であるから, Pn= である.

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【4】 関数 f( x)=x e-x について,曲線 y=f (x ) C とする.次の問いに答えよ.ただし, e は自然対数の底である.

(1)  f(x ) の極値を求めよ.

(2) 曲線 C の変曲点の座標を求めよ.また,その変曲点における C の接線の方程式を求めよ.

(3) 点 (t, f(t )) における C の接線が点 (1 ,a) を通るとき a t の式で表せ.また, C の接線で点 (1 ,a) を通るものがちょうど 2 本存在するような a の値をすべて求めよ.

(4} 不定積分 f(x )dx を求めよ.

(5) 上の(3)で求めた a の値のうち最大のものを a0 とする.点 (1 ,a0 ) を通る曲線 y=f (x ) の接線のうち,傾きが負であるものを l とする.直線 l の方程式を求めよ.また,曲線 y=f (x ) と直線 l および y 軸で囲まれる領域 D の面積を求めよ.

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