2020　関西学院大　神,商,国際,教育,総合政策学部個別日程2月6日実施MathJax

【１】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　定数$a$に対して，$xy$平面において$y=|x-1|-a$のグラフが表す折れ線と曲線$y={\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^2$がちょうど$4$つの共有点をもつとき，$a$の取りうる値の範囲は$\text{ア}<a<\text{イ}$である．また，定数$b$に対して，直線$x+2y=b$と$y=\left|\right|x-1|-2|$のグラフが表す折れ線がちょうど$3$つの共有点をもつとき，$b$の値は$\text{ウ}$または$\text{エ}$である．ただし，$\text{ウ}<\text{エ}$とする．

【１】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　$4$個のサイコロを同時に投げ，出た目の数の最大値を$X\text{，}$出た目の数の最小値を$Y$で表す．このとき，$X\leqq 4$である確率は$\text{オ}$であり，$Y=2$である確率は$\text{力}$である．また，$Y=2$であったとき，$X=4$である条件付き確率は$\text{キ}$である．ただし，$\text{オ}\text{，}$$\text{カ}\text{，}$$\text{キ}$はすべて既約分数で答えよ．

【２】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　関数$f(x)$が等式$f(x)=a{x}^2-2x+{\displaystyle {\int }_0^2}tf(t)\mathit{dt}$を満たしているとする．ただし，$a$は正の定数である．このとき，${\displaystyle {\int }_0^2}tf(t)\mathit{dt}$の値を$a$の式で表すと，${\displaystyle {\int }_0^2}tf(t)\mathit{dt}=\text{ア}$である．また，$f(x)$の最小値を$m$とするとき，$m$が最大となる$a$の値は$a=\text{イ}$であり，そのときの$m$の値は$m=\text{ウ}$である．

【２】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　公差$d$の等差数列$\{a_n\}$が${\displaystyle \sum _{n=1}^{18}}{a}_n=135\text{，}$${\displaystyle \sum _{n=19}^{36}}{a}_n=783$を満たしているとき，$a_1=\text{エ}\text{，}$$d=\text{オ}$である．また，公比$3$の等比数列$\{b_n\}$が${\displaystyle \sum _{n=1}^6}{b}_n=91$を満たしているとき，$b_1=\text{カ}$である．このとき，$|a_n-{\log }_3{b}_n|$の値が最小になる$n$の値を求めると，$n=\text{キ}$である．ただし，${\log }_{3}2=0.63$とする．

【３】　$xy$平面において，不等式$(z^2+2x+y^2)(x^2+y^2-6y+8)\leqq 0$の表す領域を$A$とする．次の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{P}$$(x,y)$が領域$A$を動くとき，$2$点$\mathrm{P}$$(x,y)\text{，}$$\mathrm{Q}$$(5,0)$間の距離$\mathrm{PQ}$の最小値を求めよ．

(2)　$k=x+y$とおく．点$\mathrm{P}$$(x,y)$が領域$A$を動くとき，$k$の取りうる値の範囲を求めよ．

(3)　$k=x+y$とおくとき，${\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^3+{\displaystyle \frac{1}{3}}{y}^3+x^{2}y-9x-9y$を$k$の式で表せ．

(4)　点$\mathrm{P}$$(x,y)$が領域$A$を動くとき，${\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^3+{\displaystyle \frac{1}{3}}{y}^3+x^{2}y+x{y}^2-9x-9y$の最大値と最小値を求めよ．