2020　関西学院大　社会,法学部個別日程2月7日実施MathJax

(1)　方程式$12x+5y=1$の整数解$x\text{，}$$y$の中で，$\left|y\right|$が最小となる組$(x,y)$は$(x,y)=\text{ア}$である．方程式$12x+5y=8$の整数解$x\text{，}$$y$の中で，$|y+76|$が最小となる組$(x,y)$は$(x,y)=\text{イ}$であり，$x\leqq 50$かつ$y\leqq 50$を満たす組$(x,y)$の個数は$\text{ウ}$個である．また，同じく方程式$12x+5y=8$の整数解$x\text{，}$$y$の中で，${\left({\displaystyle \frac{x+1}{5}}\right)}^2+{({\displaystyle \frac{y}{4}}-10)}^2$が最小となる組$(x,y)$は$(x,y)=\text{エ}$である．

(2)　$3$個のサイコロを同時に投げ，出た目の和を$X\text{，}$出た目の積を$Y$とする．このとき，$X=8$である確率は$\text{オ}$であり，$X=8$であったとき，$Y\leqq 10$である条件付き確率は$\text{力}$である．また，$XY=48$である確率は$\text{キ}$である．

(1)　関数

$y=3^{3x-1}+3^{-3x-1}-2\cdot 3^{2x}-2\cdot 3^{-2x}+3^x+3^{-x}$

を考える．$t=3^x+3^{-x}$とおいて$y$を$t$の式で表すと，$y=\text{ア}$である．$y$の最小値は$\text{イ}$であり，$y=\text{イ}$となる$x$の値のうち正のものを$a$とするとき，$3^a=\text{ウ}$である．

(2)　平面上の$\mathrm{▵OAB}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とする．点$\mathrm{C}$は$\mathrm{▵OAB}$の内部の点で，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$が$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=r\overrightarrow{a}+{\displaystyle \frac{1}{3}}\overrightarrow{b}$と表されるものとする．直線$\mathrm{BC}$と辺$\mathrm{OA}$の交点$\mathrm{P}$に対して，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=p\overrightarrow{a}$とおく．このとき，$p$を$r$の式で表すと，$p=\text{エ}$である．

　さらに$\mathrm{▵OAB}$において，$\mathrm{OA}=6\text{，}$$\mathrm{OB}=3$であり，$\mathrm{\angle AOB}$は鈍角で，面積は$4\sqrt{5}$であるとする．このとき，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$の値は$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\text{オ}$であり，

(ⅰ)　直線$\mathrm{OC}$と辺$\mathrm{AB}$が直交しているならば，$r$の値は$r=\text{カ}$である．

(ⅱ)　直線$\mathrm{BC}$が$\mathrm{\angle OBA}$を二等分しているならば，$r$の値は$r=\text{キ}$である．

(1)　曲線$C_1$と曲線$C_2$の共有点の$x$座標をすべて求めよ．

(2)　曲線$C_1$と曲線$C_2$で囲まれる$2$つの部分のうち，点$(-{\displaystyle \frac{1}{2}},0)$を含む部分の面積を$S_1$とし，もう$1$つの部分の面積を$S_2$とする．$S_1-S_2$を求めよ．

(3)　(2)で求めた$S_1-S_2$が最大となる$a$の値と，そのときの$S_1-S_2$の値を求めよ．