2020　西南学院大学　経済,国際文化学部日程MathJax

【１】

1.　$x^2+2x+6=0$の$2$つの解は，$\text{アイ}\pm \sqrt{\text{ウ}}i$であり，$2$つの解の和は$\text{エオ}\text{，}$積は$\text{力}$である．

【１】

2.　次の$2$つの条件$(x+3)f^{\prime }(x)=2f(x)+8x-12$かつ$f(0)=3$をみたす$2$次関数は，$f(x)=\text{キ}{x}^2+\text{クケ}x+\text{コ}$となる．

【１】

3.　$2$進法で表された数${101100}_{(2)}$を$10$進法で表すと$\text{サシ}$となり，$5$進法で表された数${0.341}_{(5)}$を$10$進法で表すと$\text{ス}.\text{セソタ}$となる．

【１】

4.　$3$次方程式$x^3-3k{x}^2+4=0$が異なる$2$つの実数解のみをもつとき，$k=\text{チ}$である．

【２】　中心$\mathrm{A}(\overrightarrow{a})\text{，}$半径$1$の円$C$と，原点$\mathrm{O}$を通り方向ベクトルが$\overrightarrow{d}$である直線$l$を考える．$l$のベクトル方程式の媒介変数を$t$とする．

　ただし，$\left|\overrightarrow{a}\right|=4\text{，}$$\left|\overrightarrow{d}\right|=1$とする．直線$l$と円$C$が$2$つの点${\mathrm{P}}_1\text{，}$${\mathrm{P}}_2$で交わる．

(1)　直線$l$と円$C$が交わる点において，媒介変数$t$が満たす式は，

$t^2+\text{ツテ}(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{d})t+\text{トナ}=0$

である．

(2)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}_1}\right|\left|\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}_2}\right|=\text{ニヌ}$である．

(3)　原点$\mathrm{O}$を通り方向ベクトルが$\overrightarrow{g}=(-2,1)$である直線$m$を考える．直線$m$と円$C$が交わる$2$点を${\mathrm{Q}}_1\text{，}$${\mathrm{Q}}_2$とすると，$\left|\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{Q}}_1}\right|\left|\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{Q}}_2}\right|=\text{ネ}\cdot {\left|\overrightarrow{g}\right|}^2$である．

【３】　関数$y={\log }_2\{4(4^x+4^{-x})-20(2^x+2^{-x})+65\}$について，以下の問に答えよ．

(1)　$2^x+2^{-x}=t$として，$y$を$t$の関数として表せ．

(2)　$t$のとりうる値の範囲を求めよ．

(3)　$y$の最小値とそのときの$x$の値を求めよ．