2020　福岡大学　系統別日程理，工学系統2月2日実施MathJax

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　不等式$|x-1|\leqq 5$をみたす整数$x$の個数は$\text{(1)}$個である．また，$a$が正の整数であり，$|x-a-1|\leqq 2a$をみたす整数$x$の個数が$17$個であるとき，$a$の値は$\text{(2)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　袋$\mathrm{A}$には$1$から$10$までの数字が$1$つずつ書かれた$10$個の玉が入っている．また，袋$\mathrm{B}$には$2$から$6$までの数字が$1$つずつ書かれた$5$個の玉が入っている．袋$\mathrm{A}$と袋$\mathrm{B}$からそれぞれ$1$個ずつ玉を取り出すとき，取り出した$2$個の玉の数字の積が$3$の倍数となる確率は$\text{(3)}$であり，取り出した$2$個の玉の数字の和が$3$の倍数となる確率は$\text{(4)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅲ)　放物線$C_1\text{：}y=x^2-2x+1$の頂点と放物線$C_2\text{：}y=-x^2-14x-50$の頂点は点$\mathrm{P}$に関して対称である．このとき，点$\mathrm{P}$の座標は$\text{(5)}$である．また，$C_1$上の点$\mathrm{Q}$における接線と直線$\mathrm{PQ}$が直交するとき，点$\mathrm{Q}$の座標は$\text{(6)}$である．

【２】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　点$\mathrm{O}$を原点とする座標空間において，点$\mathrm{P}\text{．}$$\mathrm{Q}\text{．}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$の座標を．$\mathrm{P}$$(0,0,1)\text{，}$$\mathrm{Q}$$(1,0,0)\text{，}$$\mathrm{A}$$(x,y,z)\text{．}$$\mathrm{B}$$(x,-y,z)$とする．ただし，$y>0$とする．$\mathrm{OA}=2\sqrt{3}\text{．}$$\mathrm{\angle AOP}={\displaystyle \frac{\pi }{3}}\text{．}$$\mathrm{\angle AOQ}={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$のとき，$(x,y,z)=\text{(1)}$である．このとき，$2$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$を直径の両端とする球面と平面$z={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$が交わる部分は円であり，その円の半径は$\text{(2)}$である．

【２】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　純虚数$z$が方程式$|z-1|=\sqrt{3}$をみたすとき，この絶対値$\left|z\right|$の値は$\text{(3)}$である．

　また，複素数$w$が方程式$|w-1+i|=\sqrt{2}$をみたすとき．$w$の絶対値$\left|w\right|$の最大値は$\text{(4)}$である．ただし，$i$は虚数単位とする．

【３】　直線$l\text{：}y=-x+4$と曲線$C\text{：}y={\displaystyle \frac{3}{x}}$$\text{（}x>0\text{）}$について，次の問に答えよ．

(ⅰ)　直線$l$と曲線$C$で囲まれた部分の面積を求めよ．

(ⅱ)　直線$l$と曲線$C$で囲まれた部分を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．