2020　福岡大学　系統別医（医学科）学部2月2日実施MathJax

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　方程式$2|z-i|=|z+5i|$をみたす複素数$z$全体を$C$とおくとき，$C$は複素数平面上の円を表す．このとき，円$C$の中心は$\text{(1)}$である．また，円$C$上の複素数$z$の絶対値を$r$とし，偏角を$\theta$とするとき，$r$を$\theta$で表すと$r=\text{(2)}$である．ただし，$i$は虚数単位とする．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　$n\text{，}$$m$を正の整数とする．$20!$は$2^n$で割り切れるが$2^{n+1}$で割り切れない．このとき，$n$の値は$\text{(3)}$である．${(1+2x)}^{50}$の展開式における$x^{20}$の項の係数は$2^m$で割り切れるが$2^{m+1}$で割り切れない．このとき，$m$の値は$\text{(4)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅲ)　曲線$y=x^3-3\sqrt{2}x+2\sqrt{2}+1$を$x$軸方向に$\sqrt{2}$だけ平行移動して得られる曲線の方程式は$\text{(5)}$である．また，$3$次方程式$x^3-3\sqrt{2}x+2\sqrt{2}+1=0$の実数解は$\text{(6)}$である．

【２】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　右の表は，$4$人の生徒$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{．}$$\mathrm{D}$の$100$点満点の数学と英語のテストの得点である．ただし，単位は点とする．このとき，数学のテストの得点の分散は$\text{(1)}$である．また，英語のテストの得点の中央値が$100-{\displaystyle \frac{x}{3}}$であるとき，数学と英語のテストの得点の共分散は$\text{(2)}$である．

【２】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{3}}$のとき，関数$y={\displaystyle \frac{1}{\sin (2x+{\displaystyle \frac{\pi }{6}})}}$の最小値は$\text{(3)}$である．また，定積分${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}{\displaystyle \frac{\mathit{dx}}{\sin (2x+{\displaystyle \frac{\pi }{6}})}}$の値は$\text{(4)}$である．

【３】　媒介変数$t$で表される次の曲線を$C$とする．

$x(t)=e^{-t}(t+2)\text{，}$$y(t)=(e^{-t-1}-1)(e^{t-1}-1)$$\text{（}-1\leqq t\leqq 1\text{）}$

このとき，次の問に答えよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．

(ⅰ)　$y(t)$の最大値と最小値を求めよ．

(ⅱ)　曲線$C$と$x$軸とで囲まれた部分の面積を求めよ．