2020　福岡大学　前期理，薬学部2月3日実施MathJax

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　${({\displaystyle \frac{1}{2}}a+1)}^5$の展開式における$a^2$の項の係数は$\text{(1)}$であり，${({\displaystyle \frac{1}{2}}a+b+1)}^{10}$の展開式における$a^2{b}^5$の項の係数は$\text{(2)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　$1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$4\text{，}$$5$の数字が$1$つずつ書かれたカードが$7$枚ある．ただし，$1\text{,}$$3\text{．}$$4$のカードはそれぞれ$1$枚ずつあり，$2$と$5$のカードはそれぞれ$2$枚ずつある．$7$枚のカードを横$1$列に並べるとき，$3$のカードが両端にこない並べ方の総数は$\text{(3)}$通りある．また，$1$のカードより左側に$3$のカードがあり，$1$のカードより右側に$4$のカードがある並べ方の総数は$\text{(4)}$通りある．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅲ)　関数$y={\displaystyle \frac{1}{2}}{\sin }^{2}x+\sin x\cos x-{\displaystyle \frac{1}{2}}{\cos }^{2}x$を，定数$A\geqq 0\text{，}$$a\geqq 0\text{，}$$0\leqq b<2\pi$を用いて$y=A\sin (ax+b)$の形に変形すると$(A,a,b)=\text{(5)}$である．また，$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のとき，$y$の最大値を$M\text{，}$最小値を$m$とすると$(M,m)=\text{(6)}$である．

【２】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　正方形$\mathrm{ABCD}$において，辺$\mathrm{AB}$を$3:2$に内分する点を$\mathrm{E}\text{，}$辺$\mathrm{CD}$の中点を$\mathrm{F}\text{，}$線分$\mathrm{EF}$を$3:5$に内分する点を$\mathrm{P}$とおく．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$を用いて表すと$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\text{(1)}$である．また，辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{G}$とし，$2$点$\mathrm{G}\text{，}$$\mathrm{P}$を通る直線と$2$点$\mathrm{A}\text{．}$$\mathrm{D}$を通る直線の交点を$\mathrm{H}$とする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{AH}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$を用いて表すと$\overrightarrow{\mathrm{AH}}=\text{(2)}$である．

【２】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　条件$a_1={\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}$$a_{n+1}={\displaystyle \frac{n}{n+2}}{a}_n$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots \text{）}$によって定められる数列$\{a_n\}$の一般項は$a_n=\text{(3)}$である．また，数列$\{a_n\}$の初項から第$k$項までの和$S_k$は$S_k=\text{(4)}$である．

【３】　次の問に答えよ．

(ⅰ)　不定積分${\displaystyle \int }{\displaystyle \frac{\mathit{dx}}{x(x+1)}}$を求めよ．

(ⅱ)　$x>0$のとき．関数$f(x)={\displaystyle {\int }_x^{x^2}}{\displaystyle \frac{\mathit{dt}}{t(t+1)}}$の最大値を求めよ．

【３】　曲線$C_1\text{：}y=x^3-x$と放物線$C_2\text{：}y=a{x}^2+bx+c$は共に原点を通り，原点において同じ接線をもつ．ただし，$a>1$とする．このとき，次の問に答えよ．

(ⅰ)　曲線$C_1$と放物線$C_2$によって囲まれた図形を$D$とおくとき，図形$D$の面積を$a$の式で表せ．

(ⅱ)　曲線$C_1$と放物線$C_2$の原点と異なる交点を$\mathrm{P}$とし，点$\mathrm{P}$における放物線$C_2$の接線を$l$とする．(ⅰ)の図形$D$のうち，直線$l$の下側にある部分の面積を$a$の式で表せ．