2020　福岡大学　前期理学部2月4日実施MathJax

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　方程式$7x-5y=-2$の整数解の中で，$x$の値が正で最小の解は$(x,y)=\text{(1)}$である．また，$7$で割ると$3$余り，$5$で割ると$1$余る$2$桁の正の整数の中で最大の整数は$\text{(2)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　点$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上の$2$点を$\mathrm{A}$$(x-1,1)\text{，}$$\mathrm{B}$$(-3,x+1)$とする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$が垂直となる$x$の値は$\text{(3)}$である．また，$\mathrm{▵OAB}$の面積が最小となる$x$の値は$\text{(4)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅲ)　円$x^2+y^2=5$と直線$y=x+2$の交点を$\mathrm{A}\text{．}$$\mathrm{B}$とおくとき，線分$\mathrm{AB}$の長さは$\text{(5)}$である．また，点$(-1,3)$を通り，傾きが正で，円$x^2+y^2=5$に接する直線の方程式は$\text{(6)}$である．

【２】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　$6$個の数字$0\text{．}$$1\text{．}$$2\text{．}$$3\text{．}$$4\text{．}$$5$から異なる$3$つの数字を取り出して作ることのできる$3$桁の正の整数の中で，偶数の個数は$\text{(1)}\text{，}$$4$の倍数の個数は$\text{(2)}$である．

【２】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　$0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．${\cos }^{4}x-{\sin }^{4}x={\displaystyle \frac{1}{2}}$をみたす$x$の値は$\text{(3)}$である．

　また，$0<\theta <\pi$のとき，$\sqrt{3}{\cos }^4\theta -8{\cos }^2\theta {\sin }^2\theta -\sqrt{3}{\sin }^4\theta -1=0$をみたす$\theta$の値は$\text{(4)}$である．

【３】　次の問に答えよ．

(ⅰ)　曲線$y={\displaystyle \frac{1}{4+x^2}}$の変曲点の座標を求めよ．

(ⅱ)　定積分${\displaystyle {\int }_0^{2\sqrt{2}}{\displaystyle \frac{\mathit{dx}}{4+x^2}}}$の値を求めよ．

【３】　曲線$C_1\text{：}y={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2$上の点$(1,{\displaystyle \frac{1}{2}})$における接線を$l$とする．また，曲線$C_1$を$x$軸方向に$2\text{．}$$y$軸方向に$2$だけ平行移動して得られる曲線を$C_2$とする．このとき，次の問に答えよ．

(ⅰ)　直線$l$の方程式と曲線$C_2$の方程式を求めよ．

(ⅱ)　曲線$C_1\text{，}$曲線$C_2$および直線$l$で囲まれた部分の面積を求めよ．